ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ
Измерение площадей по карте. Полярный планиметр, его устройство и поверки
Площади участков местности можно измерить в натуре, по карте (графически или механически) и вычислить по координатам.
Чтобы определить площадь некоторой части земной поверхности, можно, конечно, производить непосредственные измерения на местности, но гораздо проще пользоваться готовыми планами и картами. Верное изображение на бумаге подобно соответствующему участку на местности, а из геометрии известно, что площади подобных фигур относятся как квадраты сходственных сторон. Вообще истинная площадь участка равна площади, занятой им на бумаге, умноженной на квадрат знаменателя численного масштаба; если дан линейный масштаб, то истинная площадь участка равна площади на бумаге, умноженной на квадрат числа линейных единиц в 1 см или другой мере. Таким образом, при масштабе 1/1000, или 10 м в 1 см, истинная площадь на местности, занимающая на плане 15 см2, равна 10002х 15 см2, или 102х 15м2.
Из сказанного выше видно, что для определения площади земельного участка, изображенного на плане или карте известного масштаба, необходимо лишь знать, сколько квадратных сантиметров заключается в этом участке на бумаге. Этого можно достичь двумя способами: геометрически — разбивкой участка на фигуры, площади которых вычисляют по известным формулам геометрии, и механически — при помощи особого прибора — планиметра.
Так как бумага, на которой вычерчены планы и карты, подвергается изменению (деформации) от долговременного хранения в очень сухих или сырых помещениях, то это изменение должно быть принято в расчет при вычислении площадей. Мерой такого измерения служат линейный масштаб на самом чертеже и картографическая сетка, начерченная на том же листе при составлении плана или карты. Если допустить, что бумага сократилась или вытянулась равномерно по всем направлениям, то всегда можно вычислить площадь с удовлетво-5 0 рительной для практических целей точностью.
Геометрические способы измерения площадей
Участок, представляющий собой прямолинейный многогранник, нетрудно разбить прямыми на систему квадратов, прямоугольников, треугольников, трапеций и, вычислив площадь каждой фигуры, определить суммированием площадь всего многогранника. Площади Р этих фигур вычисляют по следующим формулам.
Площадь квадрата со стороной а и площадь прямоугольника со смежными сторонами а и Ь:
Р=а2иР=аЬ. (3.1)
Площадь прямоугольного треугольника с гипотенузой а, катетами b и с и противолежащими углами В и С:
Р + Ь) (а - b) =-^~ sin2B=^-ctgB =
Площадь косоугольного треугольника со сторонами а, b и с, противолежащими углами А, В и С, полупериметром р и высотой h:
„ b2 sin A sin С b2sinAsin(A + B) <— — — be sin A bh р= Q = z—— = Vp(P - a) (P - b) (P ~ C)=—-—=—.
2sin(A + C) 2sinB 2 2
Площадь трапеции с параллельными сторонами а и Ь, непараллельными end, полупериметром р и высотой h:
P=^-l(p-a)(p-b)(p-b-c)(p-b-a).=^-h. a-b 2
Площадь четырехугольника со сторонами Sx S2, S3 и S4; углами А, В, CnD (причем угол А составлен сторонами S4 и угол В — сторонами Sj и S2 и т. д.); диагоналями и d2 и углом а между ними:
Р=i(St S2 sin В+S3 S4 sin D)(S2S3 sin C+S4 sin A)=i dxd2 sin a.
Каждый прямолинейный многоугольник можно разбить на простейшие фигуры разными путями. Ввиду неизбежных погрешностей и даже промахов при измерении линий и углов на бумаге, а равно и при вычислениях площадь каждого многоугольника принято определять не менее чем двумя разными способами, например, разбивать его на трапеции и прямоугольные треугольники или на две разные системы косоугольных треугольников.
Расхождения суммарных площадей не должны превышать 1/200, тогда за результат принимают среднее арифметическое из двух измерений. При больших расхождениях работу повторяют, разбивая многоугольник на новую систему простейших фигур, пока не получат два согласных результата. 51
