Изображение земной поверхности на сфере и на плоскости. Влияние кривизны Земли на горизонтальные расстояния и на высоты точек. Понятие о плане, карте, профиле местности. Аэрофотоснимок

Изобразить земную поверхность казалось бы естественным на сфере, например на глобусе. Для этого достаточно нанести на поверхность глобуса сетку меридианов и параллелей и по координатам ср и X нанести все контуры и предметы. Зная высоты, можно 14 изобразить и неровности местности. Но изображение на глобусе

Рис. 1.6. К влиянию кривизны Земли

не будет наглядным даже при значительных его размерах. Например, на глобусе радиусом в 1 м самая высокая гора Эверест над поверхностью такого глобуса обозначится песчинкой чуть больше 1 мм. К тому же изображение на сфере невозможно использовать для целей проектирования инженерных сооружений. Поэтому поверхность Земли изображают на плоскости.

Установим искажение при замене дуги сферы отрезком касательной. Пусть на поверхности Земли, принятой за по— верхность шара радиусом R, расположены произвольные точки А и В (рис. 1.6).

Если заменить дугу S отрезком касательной , то получим

AS = t - S,

где AS — влияние кривизны Земли на горизонтальное расстояние.

Докажем, что при S< 10 км и R = 6371 км искажение AS является малой величиной и ею можно пренебречь. По построению

t = Rtgs,

• (1.1)
• (1-2)
• (1-3)

S=-R.

Р

По малости угла в (е < 5')

8 1 8³

^tg?^P ⁺ 3?

С учетом формул (1.1) — (1.3) имеем:

3 р³

Выражая из (1.2) 8, получим:

• 1 S³
• 3 R²

или в относительной мере

as_j_s^

S ~ 3 R²

Для разных длин дуги S влияние кривизны AS в абсолютных и относительных величинах приведено в табл. 1.1. 15

Таблица 1.1

Замена дуги S < 10 км отрезком касательной t не окажет заметного влияния на горизонтальные расстояния, так как AS/S < < 1 /10 ⁶, что меньше погрешностей современных геодезических средств линейных измерений.

Поэтому малые участки земной поверхности будут ортогонально изображаться на плоскости без заметных искажений. Такое уменьшенное и подобное ортогональное изображение на бумаге малого участка поверхности Земли называют планом.

Но с увеличением расстояний искажение AS растет очень быстро, так как оно пропорционально S³ и уже при 20 км равно 7 см, при 100 км — 10 м, и его необходимо учитывать.

Большие участки или всю поверхность Земли нельзя изобразить на плоскости без искажений (без складок или разрывов). Задача состоит в том, чтобы определить их закономерности математически.

Построенное по определенным математическим законам уменьшенное и искаженное изображение части земной поверхности или всей поверхности Земли на бумаге называют картой.

Для качественной и количественной характеристики неровностей местности по заданному направлению строят профиль местности. Уменьшенное изображение на бумаге вертикального профиля (разреза) местности называется профилем.

При изображении земной поверхности широкое применение находят аэрофотоснимки. Аэрофотоснимок, в отличие от плана, не ортогональная, а центральная проекция участка местности (рис. 1.7).

Рассмотрим далее влияние кривизны Земли на превышения и высоты точек.

На рис. 1.6 ВВ' = Ah — ошибка за кривизну Земли в превышении или высоте точки определяется из соотношения

(R + Ah)² = R²+t².

На основе вышесказанного, принимая S = t и отбрасывая (Ай)² как величину второго порядка малости, получаем:

1 G Соответственно вычислим Ай для разных S:

глава 1. общие сведения о геодезии

В практике инженерно-геодезических работ высоты точек и превышения между точками, как правило, требуется знать с ошибкой не более 1 мм. Значит, влияние кривизны Земли на превышения и высоты следует учитывать практически всегда.

Рис. 1.7. Центральная проекция:

f— фокусное расстояние камеры; Н — высота фотографирования;

— = — — масштаб аэрофотоснимка