Аппроксимация изгибающих моментов, поперечных сил, крутящих моментов и приведенных поперечных сил

После определения (5.6.25)-(5.6.33) выражения для изгибающих моментов на элементе на основе известных соотношений записываются следующим образом:

М/Чх,,^) = -^„.[^yr’UpXj + ^^yr’UpX,)] =

= -D_u[a₁²y_I^w(x₁,x₂)+y_uyf4x₁,x₂)]; ^{( }}

А/Г(Х,,Х₂) = -Р_ь.[гЛуГ^₁^2) + ^уГ⁾(х₁,х₂)] =

= -^_/К/?уГ(х„х₂) ₊ уГ^,(х₁,х₂)], ^{( }}

где D_k . и v_k. - соответственно значение цилиндрической жесткости и коэффициента Пуассона на дискретно-континуальном конечном элементе а>_к..

Поперечные силы, в свою очередь, вычисляются по формулам:

е,^(х„х₂) = =

= -^.,[^y₁^wU₁^₂) + ^⁾(x₁,x₂)]; ^{( }}

Q^(_Xl,x₂) = -D_u[a₂^y_I^(x_l,x₂) ₊ ^yru₁,%₂)] =

= -^Д^у‘*⁾(х₁,х₂) + уГ(х₁,х₂)]. ^{1 J}

Крутящий момент определяется выражением

Н^(х„х₂) = М <» (х., х₂) = М <» (х,, х₂) =

= -п_м(1-у)аду₁⁽⁴⁾(х₁,х₂) = -п_м(1-у)а₁у^(х₁,х₂).^{1 ;}

Приведенные поперечные силы, часто используемые при задании граничных условий, вычисляются по формулам:

V,^w(x„x₂) = -D_AJ^y₁^w(x_I,x₂) ₊ (2-y,„.)a_ia^y₁^w(x₁,x₂)] =

= -D_i„[s;yr^,U₁^₂) + (2-v,„.kr⁾(^^₂)]; ^{1 }}

V^(_Xl,x₂) = -^„.[(2-y_M)My_l^(x₁,x₂)-bS³₂y₁⁽ⁱ4x₁,x₂)J =

= -D_t.[(2-y_t,)5₁²y<ⁱ⁾(x₁,x₂)+y<ⁱ⁾(x₁,x₂)]. • • >

Приведенные к узлам изгибающие моменты [М^]⁰*, [Л/₂⁴⁾]^(,), поперечные силы [0]^(t)]^(,), [Qf’]⁰’, крутящий момент [Я^(А,]^(,) и приведенные поперечные силы [VJ^(i>]^(,), [V^]⁰ определяются аналогично частным производных от искомых функций (см. выше) с учетом соответствующих операций осреднения.

Построение матриц жесткости ДККЭ

Функционал энергии конструкции можно представить в виде суммы функционалов, определенных на дискретно-континуальных конечных элементах. С учетом вышеизложенного можем установить следующее соответствие между континуальными операторами, представленными в параграфе 3.24, и их дискретно-континуальными аналогами на дискретноконтинуальном конечном элементе:

^.₄=^А => (5.6.73)

^.2 = -.do_kD_kv_k +2a^,^(i-yja, +e_kD_kv_kd}] =>

v-ti) — A-’-®-'⁴/

^Kk.2 - ^Kk,2,l^+Kk,2.2 ^{+ K}k,2,3’

где

%.о = -d²O_k^Dkd² + 0_к^ск => ^К'кл = ^К‘к.^ + ^.0.2 ’

• (5.6.75)
• (5.6.76)
• (5.6.77)

• (5.6.78)
• (5.6.79)
• (5.6.80)
• (5.6.81)
• (5.6.82)

с_к. - значение коэффициента, характеризующего жесткость основания на дис

кретно-континуальном конечном элементе а>_к

Вычислив интегралы в (5.6.75)-(5.6.81), получим:

36 ЗА,. -36 ЗА,.

ЗА,. 4А² -ЗА,. -А²

^кЛЛ 15й. -36 -ЗА,. 36 -ЗА,.

ЗА. - А² -ЗА. 4А,²

Формулы (5.6.83)-(5.6.88) удобно представить в мультипликативном виде (верхний индекс Т обозначает операцию транспонирования матрицы):

(5-6-89)

_{Н А}^ _Н . _к<» _ %А*А ^vk.J _НА^ _н

КЛЛ _3()h . *2.1 , 4.2.2 _15/г, - *2.2 -

к';,^н^^н‘^{; (5}-⁶-⁹⁰⁾

ЗОЙ,.

где

₌ А _я д _{н = н} а _н .

*,0,1 ^3 . *0,1 < ’ 4,0,2 42Q ' ^{0 2} ' ’

‘ 156 22 54 -13 ’

22 4 13 -3

Л-А),2 - _{54 13 156} _₂2 ^;

-13 -3 -22 4

’-36 -33 36 -3‘

_г -3 -4 3 1

~•* 36 3 -36 33 ’

• -3 1 3-4
• (5.6.91)
• (5.6.92)
• (5.6.93)
• (5.6.94)
• (5.6.95)
• (5.6.96)