Построение матриц жесткости ДККЭ с произвольным четырехугольным поперечным сечением общего вида

Исходный функционал Лагранжа [166] можно представить в виде суммы функционалов, определенных на полученных дискретно-континуальных конечных элементах на соответствующих фрагментах конструкции:

Фкк) = , (5.5.127)

где

= t/('})(x3) =

  • (5.5.128)
  • (5.5.129)

Kk'j) — матрица жесткости (i,j)-ro дискретно-континуального конечного элемента, определенного на интервале .

Формулу (5.5.129) удобно переписать в следующем виде

(*•'•»)=(5.5.130)

где ф^)(17(‘^)) = О.5Д^>аУ),17тйл) (5.5.131) - соответствующая квадратичная часть.

Формирование указанной матрицы жесткости ДККЭ производится методом базисных вариаций. Формула для определения ее элементов:

(КГ)Р.Ч = Ф™ёр +ёд)-Ф^'^ёр)-Ф^^ёч)+Ф^^^ё0), 5

р = 1, 2,..., 24; 4 = 1,2,..., 24,

где , ё0 - 24-х мерные векторы, элементы которых определяются по формуле

0),=0, Z = 1,2,..., 24; (5.5.133)

Я л - символ Кронекера.

Структура матрицы жесткости Кк'п ДККЭ следующая:

К'ку

К12 акли

к'кУ

Кхз ^кми

K'kL

КХА tXk.uu

К"и

K"v

K'k2vu

К1к3и

К4и

^2i

Kk’uU

K-'L

K2k-3V

с.

кЕ

K2k3w

cl

К32 ^к.ии

к3ку

К3к3и

с,.

К34 ^кми

С,

KZ

К3к.2и

к3:2и

К3к3и

K3k.L

гл 3.4

к,vu

гл4,1 ^*.«и

1^4,1

^k,uv

К4,2 *^к,ии

гл 4,2

K-k,uv

К4,3 ^к,ии

гл4,3

^k,uv

^-кли

К"

к4к;и

к4к.:.

Кк3и

к4к_:

кл 1.4 & к ли К'к'4т гл 2,4 К-к .UV KZ гл 3.4 K-kw К"

гл4,4 к juv К4'4

(5.5.134)

Здесь Кк", К'к"к, Kk''‘u, K'"v, I, т = 1, 2, 3, 4 - матрицы третьего порядка.

На основе матрицы жесткости ДККЭ (5.5.134) формируются соответствующие поэлементные матрицы К^,К^,К(^ и Кк'^ 12-го порядка:

К'-3 к,и и

К'кАк,и и

к.и и

к,и и

кк-3 к.и и

К1А к ми

к ,и и

К^А

к ми

1.4 к mv

KZ

к м v

К3к'3 к м v

^?4 км v

^?3 к ,и v

А4-4 к м v

К1'4" К,VII

г/' 2.3

г^2.4

^?кли

К1'3

к ,vu

Кк4 k,vu

К?

к ,vu

К4кА

к ,vu

  • (5.5.135)
  • (5.5.136)
  • (5.5.137)

к™

кЗА

к?А

(5.5.138)

Построение матриц жесткости ДККЭ с прямоугольным поперечным сечением

Поперечное сечение рассматриваемого элемента показано на рис. 5.5.5.

Очевидно, имеем (рис. 5.5.5):

„('.7) _ „('.7+1) . „('+1-7) _ v('+i.7+D . „('-7) _ „('+1.7) . „('.7+1) _ v('+i.7+0 . fS S 1 TQA

vA-j ^V] у »A-| ?Vj у э *^2 ? «*'7 -> * * A J)

/,('•)) — „('+1.7) _ „(i.7) _ V('+1J+1) _ „(',7+D . /J'-7) _ „('.7+D _ v('.7) _ „('+1.7+1)_ v('+1.7) с 1 ДП

111 */*l •/v i *^1 V i , /I •, *^7 7 •'*'? 1 • 4 I vz J

Произведем локальную замену переменных внутри элемента, введя в произвольном «поперечном» (по отношению к основному направлению) сечении рассматриваемого элемента локальную систему координат Ot} и Ot2 (рис. 5.5.5), при этом е[0, 1]; t2 е[0,1]. Формулы, связывающие локальные и глобальные координаты в данном случае с учетом (5.5.139)-(5.5.140) имеют вид:

х{ = x''J) +txh,J}; х2 = х2']} + t2h2J), (5.5.141)

где h?J) = x1(i+lj)-x1<;j); h('J) = x(J+'> - x“J). (5.5.142)

Разумеется, несложно написать зависимость обратную (5.5.141):

t^^-x^/h^; t2=(x2-xfj}Vh^ . (5.5.143)

Соответствующий якобиан равен

J. =hl'-I,h2'1}. (5.5.144)

Выражения для частных производных первого порядка от неизвестных функций иии(к) и v(kv(kv? (см. пункт 5.5.2, формулы (5.5.54)-(5.5.56)) по х,, х2 и х3 записываются в виде (ниже (xpx2,x2) е а ):

a|U®aPx2,xJ)=^-?w,,o,(f„t2)«;w,(x3);

а2«‘*’(хрх23) - ;

д3ихх23) = N(t{,t2)v^'j){x3);

а,г'*>(хрх2,х,) = ;

a2v«’(x„x2,x3) W<0'>((p/2)F«">(x3).

  • (5.5.145)
  • (5.5.146)
  • (5.5.147)
  • (5.5.148)
  • (5.5.149)

Функционал энергии конструкции можно представить в виде суммы функционалов, определенных на дискретно-континуальных конечных элементах. Тогда устанавливается следующее соответствие между континуальными операторами (3.21.13)-(3.21.15), (3.21.17)-(3.21.20) и их дискретноконтинуальными аналогами на произвольном ДККЭ:

(5.5.150)

= h'll«h'‘"NTJ: ^TT(t„t2')A";«T(tl,t2)dt,dt2 NOn;

ср = д'

’Z'kjuuM ?

А o о о a, => о о

(5.5.158)

где

= N.

—rT(t.,t2) |a(.

v 1’ 2 7 k,uu, St, J

л,,

A )

’ 0 о А,/

’о 0 0 '

ООО

; А."-У)2 =

’ k^v,2

0 0 А,<,,

Pk.i,j 0 0

0 _

ЛкМУ.

" 0

0

Рк^

0

0

0

дО’.Л _

0

0

0

• Л (i-j) -

’ ^k,vu,2 ~

0

0

Pk.i.)

_AW

0

0

0

А • kj,j

0

Алу+2Pk.ij

0

0 ’

А,.,;

0

0 ‘

А'Л1 =

Он, 1,1

0

Pkj,j

0

. ДО'.Л _

» Л*л«,2,2

0

Ал? + ^PkJ.j

0

0

0

Pk.i.j_

0

0

Pk,j_

Д(1~п пк.ии,,2

О А.,-.> о

А.,-.у О О

ООО

д(М) А .««,2,1

О

А,<„-

о

1

Т(г,Л) = О

о

*1 о о

о о о

о о о

о о

1 о о

о о о

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

h

h

'A

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

tx

*2

'A

0

*2

0

0

0 0

0

0

0

o'

0

0

0

1

0 h

0

0

0

0 :

0

0

0

0

0 0

0

1

0

r2

1

'1

0

0

0 0

0

0

0

°1

0

0

0

0

1 t.

0

0

0

0 .

0

0

0

0

0 0

0

0

1

Имеем (см. также параграф 3.21):

  • (W => (^^’А^);
  • (^Л’А) => ^ = 1,2;
  • (W*A) <7 = 1,2;

<%.ии.^к> А) р = 1,2; Я = 1,2;

Вычислив интегралы в (5.1)-(5.9), получим:

A 0 0

4 2 2 Г

30

о' Рш 0

  • 2 4 12
  • 2 14 2

_ 0 0 ^. + 2Ры_

12 2 4

  • (5.5.159)
  • (5.5.160)
  • (5.5.161)
  • (5.5.162)
  • (5.5.163)
  • (5.5.164)
  • (5.5.165)
  • (5.5.166)
  • (5.5.167)
  • (5.5.168)
  • (5.5.169)
  • (5.5.170)

]?(<./) _ 1 ь ('?./>

&k,uv,l 12

О о

Я.;,/

K^=—h^iJ} о k,uv,2 ?« /-ч 1

  • 12
  • 1 h
  • 6 ^(i,/)
  • 1 h(iJ)

'(ij) _ _J__2___

(/./) k,uu,2,2

О

О

А,-

Ал о о

о

я,,

о

к™ =—М» k,vu,2 ^2 1

  • —h^'
  • 12
  • ? 0 0
  • 0 0

_Ал/ о

Hkj.j

  • 0
  • 0

’о

0

0 ’

-

0

0

Ал/

Ял/

0

Ал/+2я о о

А.;./ + 2Я о о

  • 1 Я,«,/
  • 0
  • 6 A- о

о

Ял/

О

о

Ял/

о

о о я„

о

о

я.

  • -2
  • 2
  • -1
  • 1
  • -2
  • -1
  • 2
  • 1

’-2

-2

-1

-1

-2

-1

-2

-1

-2

2

-1

1

-1

  • -2
  • 1

2

> 2

’ 2

  • 1
  • 1
  • -1
  • -2
  • -1
  • -2

’ 2

  • -2
  • 1

-1

’ 2

  • -2
  • 1

-1 1 -2 2

-2 -1 2 1

-1 -1 -2 -2

2 1 2 1

-2 2

-1 1

-2 2

-1 1

-Г 1 -2

; (5.5.171)

2

-2

1

; (5.5.172)

2 _

Г

  • 1
  • 2 ’

(5.5.173)

2

Г

  • 2
  • 1 ’

(5.5.174)

2_

1

-1

1

2

_2 ; (5.5.175)

-2

2 _

1

-1'

-1

1 ,

2

_2 ; (5.5.176)

-2

2 _

0 0 '

“2 1-2 -Г

1 2-1-2

Ал/ + 2Ял/ 0

-2-12 1

; (5.5.177)

0 Ял/_

-1-21 2

(5.5.178)

Ял/

  • 0
  • 0

-1 1

-1 1

  • 1 -1
  • 1 -1

(5.5.179)

Как видно вышеприведенные матрицы жесткости (5.5.170)-(5.5.179) имеют 12-й порядок.

Исходя из общеизвестных принципов нумерации неизвестных, принятых в стандартном методе конечных элементов [166], далее целесообразно осуществить следующую перестановку неизвестных и соответствующие преобразования строк и столбцов построенных поэлементных матриц жест-кости К™, К™, К^2,К^,, К^2, К™,,, К™». К™, и К^‘:

,v'kl'n) => (5.5.180)

=> (^“ «““,?“">), <7 = 1,2; (5.5.181)

=> (К^ш-п,й'ил),

=> Р=^ 4 = 1.2, (5.5.183)

где

й.““

  • -(W+1.J) ’
  • —(*,1+1,7+1)
  • (5.5.184)
  • - соответствующие векторы неизвестных во всех узлах элемента после пе

рестановок

4 = U;

К™ =PTk(; j) Р, я = 1,2; К™ =PTk(J) Р, р = 1,2; q = 1,2, (5.5.185) k,vu,q k,vihq ’ ’ ’ k,uu,p,q k,uu,p,q 9 г ’ ’ 7 ’ ’ v z

где P - матрица перестановок, Г1 о о о о

  • 0 0 0 1 0
  • 0 0 0 0 0
  • 0 0 0 0 0
  • 0 10 0 0 0 0 0 0 1
  • 0 0 0 0 0
  • 0 0 0 0 0
  • 0 0 10 0 0 0 0 0 0
  • 0 0 0 0 0
  • 0 0 0 0 0
  • 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
  • 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
  • (5.5.186)

Итак, с учетом (5.5.170)-(5.5.179) и (5.5.180)-(5.5.185) будем иметь:

  • (5.5.187)
  • -2

= — 2

  • 12 2 -1
  • 1
  • -2
  • 2
  • -1
  • 1
  • -1
  • 1 -2
  • 2
  • -1 1 -2 2
  • (5.5.188)

к,и>,2 *

-2

-1

2

1

-1

  • -2
  • 1

2

-2

-1

2

1

-1

  • -2
  • 1

2

о

о

А,-

о

Алу

о

(5.5.189)

Л'1'-'1

У Х I- и и I

Л. ....

K{iJ) =—h(ii) ^k.vu.2 j 2 1

2 -2

1 -1

-2

2

-1

1

6 h[iJ)

2

  • -2
  • 1

-1

-2

2

-1

1

1 h2J)

6

2

1

-2

-1

1

2 -1 -2

г-(ЛУ) _ J_

Л4ли,1.2

  • 1 -1
  • 1 -1

г-(>,У) I

Л k, ии, 2,1 д

-1

-1

-2

-2

-1

-1

-2 -1 -2

-1

1 -1 2 -2

1 -1

2 -2

-2

-1

2

1

1

-1

1

-1

-1

-1

1

1

2

2

1

1

-1

-1

-2

-2

-1

-2

-1

-2

-1 1 -2 2

-1

1 -2

2

-1

  • -2
  • 1

2

-1 1 -1 1

1

1

-1

-1

2

1

2

1

1

1

2

2

1

2

1

2

О о А.-

о

о

А,,

Алу + 2 А

О

О

  • -1
  • 1 -1
  • 1
  • -1

Матрицы жесткости континуальным операторам 9?kjiv, $kvu и

Алу

О

О

О

Ал

о

  • (5.5.190)
  • (5.5.191)

; (5.5.192)

О

Ал

о

о о а.,

; (5.5.193)

о

Алу + 2 А О

О

Алу

О

о

Ал

о

л.

о

о

Алу

О

О

О о Ал

; (5.5.194)

  • (5.5.195)
  • (5.5.196)

Kk" отвечающие

$k4tu определяются по формулам

соответственно

г^(ЛУ) _ jrU’j) i j^<'-y) . ^?k,uv ^k.uv. + ^-k.m.2 ’

К*-''!'* — I

IYk.ui, ^клиЛЛГ Л|1,ии,2,2 ‘Г ^?к.ииЛЛ

  • (5.5.197)
  • (5.5.198)
  • (5.5.199)
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >