Общий подход для операторных формулировок. Характеристическая функция области и дельта-функция границы
Общий подход для операторных формулировок
Исходная граничная задача формулируется на множестве функций, определенных в некоторой области О и принадлежащих, например, пространству Я”'(О) из шкалы гильбертовых пространств:
|
м(х): |
[(w(m))2 Jx < 00 |
|
V |
J Q________ |
С общепринятых математических позиций оператор граничной задачи осуществляет отображение
т-1
Н2т+'(П') => Hr(-Q)x[Jw2"!+",ir°'5(c.Q), (2.3.2)
j=0
где 2т - порядок оператора внутренних условий исходной постановки (порядок максимальной производной); - порядок граничных условий: 0
Такая формулировка оператора краевой задачи, несмотря на свою строгость и универсальность, не является конструктивной, так как не содержит ответа на вопрос, как оператор действует на конкретную функцию, что необходимо, например, для вычисления невязки в случае приближенного решения задачи.
Понятие о характеристической функции области
При конструктивном (явном) определении оператора важную роль иг
рает характеристическая функция 0(х) исходной области
- 0(х) =
- 1, X G Q
- 0, х Q,
- (2.3.3) которая является основным средством описания геометрии области и краевых условий, связанных с ее обобщенными производными.
В общем случае характеристическая функция области аналитически задается неравенствами вида (ниже р(х) - уравнение границы)
<9(х) = П’ или 0(х) = х(р(х)), где Z(x) = (l’ <2-3-4>
[ 0, р(х) <0 [ и, х su.
Х(х) - функция Хевисайда.
Если область выпуклая (например, многоугольник, многогранник), то характеристическая функция описывается системой неравенств (рис. 2.3.1):
0(х) = Р’ W = А(х)>0 (2.3.5)
[ 0, в противном случае.
Условие (2.3.5) можно записать либо в виде логического выражения, либо в виде арифметического с использованием функции Хевисайда:
Л/ м
P|/?,.(x)>0 = 77?t/E или П;г(р,.(х)) = 1 • (2.3.6)
i=i i=i
В общем случае исходную область можно представить в виде суммы или разности выпуклых подобластей, при этом
6'(х) = ^±0,(х), (2.3.7)
к=
где Q - число подобластей.
Конкретно характеристическая функция #(х) в заданной точке вычисляется как непосредственно по приведенным формулам, так и по другим алгоритмам, например по «методу луча», состоящему в подсчете R - числа пересечений произвольного луча, исходящего из точки х, с границей исходной области (рис. 2.3.2). Тогда
ч fl, R -нечетно /о а
D (2.3.8)
[0, R -четно
Этот метод применим для сколь угодно сложной области и легко реализуется для плоских задач. В общем случае, как показывает практика, существенных проблем с построением алгоритма вычисления функции 0(х) и его реализацией не возникает.
