Общий подход для операторных формулировок. Характеристическая функция области и дельта-функция границы

Общий подход для операторных формулировок

Исходная граничная задача формулируется на множестве функций, определенных в некоторой области О и принадлежащих, например, пространству Я”'(О) из шкалы гильбертовых пространств:

м(х):

[(w(m))2 Jx < 00

V

J

Q________

С общепринятых математических позиций оператор граничной задачи осуществляет отображение

т-1

Н2т+'(П') => Hr(-Q)x[Jw2"!+",ir°'5(c.Q), (2.3.2)

j=0

где 2т - порядок оператора внутренних условий исходной постановки (порядок максимальной производной); - порядок граничных условий: 0н2т+г~т‘~°'5 (6Q) - пространство следов функций из Н2т+г(С1).

Такая формулировка оператора краевой задачи, несмотря на свою строгость и универсальность, не является конструктивной, так как не содержит ответа на вопрос, как оператор действует на конкретную функцию, что необходимо, например, для вычисления невязки в случае приближенного решения задачи.

Понятие о характеристической функции области

При конструктивном (явном) определении оператора важную роль иг

рает характеристическая функция 0(х) исходной области

  • 0(х) =
  • 1, X G Q
  • 0, х Q,
  • (2.3.3) которая является основным средством описания геометрии области и краевых условий, связанных с ее обобщенными производными.

В общем случае характеристическая функция области аналитически задается неравенствами вида (ниже р(х) - уравнение границы)

<9(х) = П’ или 0(х) = х(р(х)), где Z(x) = (l’ <2-3-4>

[ 0, р(х) <0 [ и, х su.

Х(х) - функция Хевисайда.

Если область выпуклая (например, многоугольник, многогранник), то характеристическая функция описывается системой неравенств (рис. 2.3.1):

0(х) = Р’ W = А(х)>0 (2.3.5)

[ 0, в противном случае.

Условие (2.3.5) можно записать либо в виде логического выражения, либо в виде арифметического с использованием функции Хевисайда:

Л/ м

P|/?,.(x)>0 = 77?t/E или П;г(р,.(х)) = 1 • (2.3.6)

i=i i=i

В общем случае исходную область можно представить в виде суммы или разности выпуклых подобластей, при этом

6'(х) = ^±0,(х), (2.3.7)

к=

где Q - число подобластей.

Конкретно характеристическая функция #(х) в заданной точке вычисляется как непосредственно по приведенным формулам, так и по другим алгоритмам, например по «методу луча», состоящему в подсчете R - числа пересечений произвольного луча, исходящего из точки х, с границей исходной области (рис. 2.3.2). Тогда

ч fl, R -нечетно /о а

D (2.3.8)

[0, R -четно

Этот метод применим для сколь угодно сложной области и легко реализуется для плоских задач. В общем случае, как показывает практика, существенных проблем с построением алгоритма вычисления функции 0(х) и его реализацией не возникает.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >