Методы оценивания
В общем случае оценивание параметров модели заданной структуры проводится, как отмечалось, путем минимизации выбранного критерия качества модели (чаще всего — среднего квадрата рассогласования выходов объекта и его постулируемой модели). Рассмотрим несколько возможных подходов к такому оцениванию.
Оценивание параметрических моделей
Оценивание параметрических моделей (метод прогноза ошибки — Predictive Error Method, сокращенно РЕМ), заключается в следующем. Пусть модель исследуемого объекта имеет вид так называемой обобщенной линейной модели
у(Г) = W(z) u(t) + v(r),
при этом шум v(t) может быть представлен как
v(r) = e(t),
где е(Г) — дискретный белый шум, H(z) — некоторый полином от z-
Из данных выражений следует, что
е(Г) = H~'(z) ГМО - W(z) u(f)].
При выборе в качестве критерия (функции потерь) величины
Я) = ?е2(/)
/=!
оценки коэффициентов полиномов модели могут быть найдены в результате решения следующей оптимизационной задачи (в общем случае нелинейной)
[FT, Я] = arg min ^е2(Г).
/=i
Нахождение такого решения (различными численными методами нелинейной оптимизации), как правило, достаточно сложно и трудоемко.
Заметим, что еще более сложной является подобная процедура оценивания параметров модели для переменных состояния. Однако для ряда частных моделей существуют методы оценивания более простого вида. Рассмотрим их.
Оценивание импульсной характеристики
Предположим, что входной сигнал исследуемого (дискретного) объекта имеет нулевое математическое ожидание и является дискретным белым шумом, то есть имеет автокорреляционную функцию (АКФ)
„ , ч [X, еслих = О
А„(т) = E{u(t + t)w(/)} = J
[О, в противоположном слу ае,
где ?{•} — оператор математического ожидания, X = const — интенсивность сигнала (X > 0), и не коррелирован с шумом наблюдений (так что при любых Гит справедливо E{e(t + т)//(/)} = 0).
Тогда для установившегося режима, исходя из дискретного аналога уравнения свертки, который запишем в форме
Я0 = ?w(z)zz(Z-/) +
<=о
получим
7?га(т) = ?{y(r + x)zz(Z)} =
= ?{J^ w(z')w(z + т - z)zz(/)} + E{e(t + t)zz(/)} = w(z)?{zz(Z + т - z)zz(Z)} = у w(z)?„(t - z).
/=0 /=0 i=0
Но в силу принятого предположения о виде АКФ входного сигнала в сумме в правой части от нуля отлично только слагаемое, соответствующее т = i, поэтому окончательно получаем
/?1и(т) = Xw(t),
где ?,.„(?) — взаимная корреляционная функция (ВКФ) выходного и входного сигналов.
Отсюда приходим к оценке ИХ по экспериментальным данным:
w(t) = y(Z + T)z/(z),
где сумма в правой части с точностью до множителя представляет собой оценку взаимной корреляционной функции сигналов y(t) и zz(r), находимую по выборкам Ш}, / =1,2,
В случае, когда входной сигнал «(/) является случайным процессом, но не белым шумом, приведенным методом оценивания w(t) можно воспользоваться, если предварительно, с помощью специального формирующего фильтра Ф(г) (так называемого обеляющего фильтра) преобразовать (хотя бы приближенно) u(t) в сигнал типа белого шума:
иф(г) = Ф(г)4/(г).
Преобразовав таким же образом у(г), можно воспользоваться (с использованием выборок {уф(/)}, {д/ф(г)}) приведенной выше формулой для нахождения оценки w(Z).
Заметим, что рассмотренная процедура относится к методам корреляционного анализа.
Оценивание спектров и частотных характеристик
В данном случае объект (дискретный) представляется той же моделью, что и при оценивании параметрических моделей, а входной сигнал полагается случайным процессом с нулевым математическим ожиданием, спектральной плотностью 5„(со), некоррелированным с шумом наблюдений v(r), который в данном случае имеет некоторую спектральную плотность Sv((o).
Для приведенной модели связи между спектрами сигналов описываются известными соотношениями:
5,(и) = | W"r)l2 3„(«» + (<о), = Ще“г)(Ю), где 5ru((o) — взаимная спектральная плотность сигналов y(t) и w(r), которые можно использовать для нахождения оценок комплексного коэффициента передачи объекта Wr(elvT) и спектра шума 5„((о).
Методика оценивания соответствует описанной ниже.
Сначала по данным эксперимента определяют оценки авто- и взаимной корреляционной функций:
Я,, СО = 77 Е + R>(т) = 77 Е y(j + л t=i /=i
Ry^ = +
А Г = 1
Затем находят оценки спектральных характеристик:
м м
S.M = ?я„(т)гЛ,(т)е-*, ?я,(т)гл,(т)е-*,
т=-М т=-М
М syu(^) -t=-,W
где gAXT) — так называемое временное окно, а М — его ширина;
Наконец, требуемые оценки определяют по соотношениям:
^(е/йГ) =
51(со)=5>.(со)-
ЗДсо) '
Приведенная процедура относится к методам спектрального анализа.
Замечание. Найденная оценка И/Л,(е/иГ) комплексного коэффициента передачи является, вообще говоря, чувствительной к небольшим вариациям экспериментальных данных (вызванных, например, ошибками измерений).
