Дифференциальные уравнения
Наиболее универсальная модель основанная на дифференциальных уравнениях, описывается выражением:
па nb
/=0 ;=0
где па — порядок модели (па > nb), а, и bj — постоянные коэффициенты (параметры модели), ww(/) и — производные соответственно входного и выходного сигналов.
Уравнения переменных состояния
При выборе п координат системы (объекта) в качестве переменных ее состояния (такими координатами, например, могут быть выходной сигнал y(t) и п — 1 его производных) х,(/), ‘ = 1, 2, п, данную систему можно описать уравнениями для переменных состояния
Х'(г) = АХ(/) + Bw(/),
y(t) = СХ(/) + T)u(f),
где Х(/) — [x,(Z), x2(f), ..., х„(/)]т — вектор-столбец переменных состояния; А, В, С и D при скалярных u(t) и y(t) — соответственно матрица размера п х п, векторы размера п х 1 и 1 х п и скаляр (при векторных u(t) и y(t) — матрицы соответствующих размеров).
Применение, при нулевых начальных условиях, к последним уравнениям преобразования Лапласа позволяет получить следующее выражение для передаточной функции:
№(р) = С(р1 - А)-1 В + D,
где I — единичная матрица. Отметим, что все приведенные модели являются эквивалентными, то есть, зная любую из них, можно получить все остальные.
Разностные уравнения
Для объектов, функционирование которых представляется для дискретного времени 4 = кТ (в данном случае Т — интервал дискретизации), то есть для дискретных объектов, наиболее общим видом описания является разностное уравнение (аналог дифференциального)
Ук + аУк- | + ... + апаук_па = bxuk + b2uk_, + Z>3wfc_2 + ... + bnhuk _ nh +,,
где yk-i = y[(? “ 0 Л, ик_j = и[(к ~j)T.
Z-преобразование
Связь между сигналами может быть отражена также через дискретную свертку
к
Ук = ^ i=0
где w, — ординаты весовой решетчатой функции объекта, или, с использованием аппарата Z-преобразования
Г(?) = ? лг‘,
4=0
где z = е1’7, через дискретную передаточную функцию
и/(г) = ^ = ^,
U(z) A(z) которая определяется на основании разностного уравнения после применения к обеим частям этого уравнения Z-преобразования:
(1 + atz~l + a2z~2+...+anaz~na)Y(z) = (/>, + b2z~' + biz~2+...+bnhz~nb+')U(z).
Заметим, что Z-изображением решетчатой импульсной переходной характеристики является W(z), то есть Z{w,} = JV(z).
Отметим далее, что на практике в большинстве случаев измерение непрерывных сигналов производится в дискретные моменты времени, что представляет определенное удобство при последующей обработке данных на ЭВМ. Непрерывные объекты можно, хотя бы приближенно, отображать дискретными моделями. При этом возможны различные способы перехода от непрерывных моделей к дискретным:
• с применением Z-преобразования со следующей цепочкой переходов:
W(p) -э ?-'{ W{p)} = МО -э w(kI) = -э IV(z) = Z{wk};
• с заменой производных в дифференциальном уравнении, описывающем непрерывный объект, разностями:
ит.д.
dt Т
- (данный подход дает приемлемую точность только при малых Ту,
- 2 z - 1
- • с заменой р =---(приближенный способ, предложенный А. Тастиным
Т z + 1
и называемый билинейным преобразованием), то есть
<У(Р) 2,.,^^). л =---
Т Z+1
Укажем, что множитель z~l — е~рТ представляет собой оператор задержки, то есть z[uk = ик-ъ z~2uk = «Ь2ит. д. Принимая во внимание данное обстоятельство и обозначая моменты дискретного времени тем же символом г, что и непрерывное время (в данном случае t — 0, 1,2, ...), приведем и опишем ниже несколько распространенных моделей дискретных объектов для временной области, учитывающих действие шума наблюдения.
Модели авторегрессии
Модель авторегрессии AR (AutoRegressive) — считается самым простым описанием:
A(z) y(t) = e(t),
где
A(z) = 1 + a,z4 + a2z~2+...+aliaz~na.
ARX-модель (AutoRegressive with external input) — более сложная:
Жг) y(z) = #(z) ЯО + ЯО, или, в развернутом виде,
ЯО + ally(t - V)+...+anay(t -п) = b}u(t) + b2u(t - l)+...+bnbu(t -m) + e(t
Здесь и ниже e(f) — дискретный белый шум, B(z) = b} + b2z~'+...+bllhz~nh+'? ARMAX-модель (AutoRegressive-Moving Average with external input — модель авторегрессии скользящего среднего):
A(z) y(t) = B(z) u(t — nk) + C(z) e(t), где nk — величина задержки (запаздывания), C(^) = 1 + clz~i + c2z~2+...+cncz~nc ?
Модель «вход-выход» (в англоязычных источниках такая модель называется «Output-Error», то есть «выход-ошибка», сокращенно ОЕ):
F(z)
где F(z) = 1 + Zz"1 + f2z~2+...fnfz~nf ?
Так называемая модель Бокса—Дженкинса (BJ):
^') = 7гЯ'-"4) + ъгЯ')
F(z) D(z)
(полиномы B(z), F(z), C(z) определены ранее, a D(z) = 1 + d}z~' + d2z~2+...+dndz~"dY
Данные модели можно рассматривать как частные случаи обобщенной параметрической линейной структуры
W) = 4^“*' “ "к>+ ъгЯ'>, f(z) D(z)
при этом все они допускают расширение для многомерных объектов (имеющих несколько входов и выходов).
Модель для переменных состояния
Модель для переменных состояния (State space):
x(t + 1) — Ax(z) + Bw(z),
Я0 = Cx(z) + Dm(z) + v(Z),
где А, В, C, D — матрицы соответствующих размеров, v(Z) — коррелированный шум наблюдений.
Возможна и другая (так называемая обновленная или каноническая) форма представления данной модели:
x(Z + 1) = Ax(Z) + B«(Z) + Ке(Г), y(t) = Cx(Z) + Dw(Z) + ЯО, где К — некоторая матрица (вектор-столбец), e(z) — дискретный белый шум (скаляр).
