Демонстрационные примеры на оптимизацию

Выход к демонстрационным примерам

Для дополнительного знакомства с техникой оптимизации можно просмотреть демонстрационные примеры на нее, доступ к которым открывает пункт меню Demos. Он открывает соответствующую вкладку окна справки в MATLAB. Нужные примеры имеются в разделе Toolbox Optimization (рис. 4.2).

Рис. 4.3. Оптимизация тестовой функции Розенброка

Поскольку каждый пользователь системой MATLAB может легко ознакомиться с этими примерами, ограничимся кратким описанием их с приведением лишь наиболее характерных кадров.

Минимизация тестовой функции Розенброка

Рис. 4.3 показывает наглядное решение классической оптимизационной задачи — нахождение минимума тестовой функции Розенброка, именуемой также «банановой» функцией (файл bandem.m).

Эта функция имеет вид

Дх) = 100*(х(2) - х(1)^Л2)^Л2 + (1 - х(1))^л2

и является типичной тестовой функцией двух переменных х( 1) и х(2). Профиль дна этой функции, в которой расположена точка минимума х = [1 1] имеет вид пологого оврага, чем затрудняет поиск минимума. Приведенный пример интересен тем, что он демонстрирует в динамике переход из начальной точки поиска минимума Begin с х = [—1,9 2], в конечную End с показом каждой промежуточной точки на каждой итерации. Случай, представленный на рис. 4.3, соответствует поиску минимума симплекс-методом. Это достаточно надежный, но далеко не самый быстрый метод поиска минимума данной функции. Как видно из окна этого примера, можно опробовать минимизацию любым из 7 методов, что позволяет наглядно сравнить их эффективность.

Минимизация упругой поверхности

Еще один из показательных примеров — построение поверхности, которая образуется, когда упругая тонкая пленка набрасывается на вертикально стоящие 5 столбиков (по углам и в центре квадрата). Рис. 4.4 показывает первый кадр этой демонстрации, на котором вид пленки и указана точка экстремума, находящаяся над центральным столбиком. Это типичная задача квадратичного программирования (файл circustent.m).

Ре СЛ View 1пгел Tod: Wrdow НеЪ

Рис. 4.4. Оптимизируемая поверхность и точка ее экстремума

J⁷ -

Ре V

Рис. 4.5. Один из кадров демонстрации моделирования процесса наложения упругой поверхности на столбики

Рис. 4.6. Результат моделирования процесса укладки упругой пленки на столбики

А на рис. 4.5 дан один из промежуточных кадров этой демонстрации. На нем видно, как пленка, разбитая на многоугольные ячейки, — сетка набрасывается на столбики и как она выглядит после оптимизации и построения поверхности.

Вид конечного кадра демонстрации представлен на рис. 4.6. Хотя хорошо видно неплохое качество моделирования прогиба поверхности в середине между столбцами, на них самих поверхность выглядит не столь естественно — не заметна выпуклость поверхности. Нетрудно также понять, что это связано с большим размером ячеек, на которые разбивается поверхность. Таким образом, в данном

Рис. 4.7. Начальный кадр демонстрации компрессии изображения автомобиля

примере явно видна необходимость решения задачи оптимизации большой размерности.