Комплексный пример на исследование функции

Задание функции и построение ее графика

В заключение этой главы рассмотрим комплексный пример из справки на исследование функции одной переменной.

Вначале зададим некоторую функцию f, вычислим ее вторую производную f2 и построим ее график:

» f = 1/(5+4*cos(х))

f =

1/(5 + 4*cos (х))

» f2 = diff(f,2)

f2 =

32/(5+4*cos(x))^A3*sin(x)^Л2+4/(5+4*cos(x))^A2*cos(x)

» ezplot (f2)

axis([-2*pi 2*pi -5 2])

title('Graph of f2 ' )

График функции f2 представлен на рис. 3.15. Эту функцию мы и будем использовать для последующих вычислений.

Рис. 3.15. График функции f2

Теперь найдем третью производную от f — функцию 13:

» f3 = diff (f2); pretty(f3);

Убрав точку с запятой в конце, вы можете просмотреть довольно громоздкое выражение для третьей производной в формате pretty, имитирующем математическую нотацию.

Поиск и визуализация корней третьей производной

Теперь найдем корни третьей производной — функции f3:

3.16. Комплексный пример на исследование функции

» zeros = solve(f3)

zeros =

[ 0]

[ atan ( (-255-60*19^л(1/2))^л (1/2),10+3*19^л(1/2))]

[ atan (- (-255-60*19^л(1/2))^л(1/2),10 + 3*19^л(1/2))] [ atan((-255 + 60*19^л (1/2))^л(1/2)/(10-3*19^л (1/2)))+pi]

[ -atan((-255 + 60*19^л(1/2))^л(1/2)/(10-3*19^л (1/2)))-pi]

Выведем их в формате с плавающей точкой при 5 цифрах:

» format; % Default format of 5 digits zerosd = double(zeros) zerosd =

• 0
• 0 + 2.438H
• 0 - 2.43811
• 2.4483
• -2.4483

Построим график функции 13 с найденными корнями:

>> ezplot(f3) hold on;

plot(zerosd,0*zerosd,'го') % Plot zeros plot([-2*pi,2*pi], [0,0], 'g-.'); % Plot x-axis title('Graph of f3') Warning: Imaginary parts of complex X and/or Y arguments ignored.

Этот график представлен на рис. 3.16. Заметим, что корни f3 соответствуют локальным экстремумам функции 12.

Рис. 3.16. График функции [3 с найденными нулями

Можно попытаться расширить область поиска корней, что иллюстрирует следующий пример:

» zerosd = [zerosd(l) zerosd(4) zerosd(5) pi];

>> ezplot(f3) hold on;

plot (zerosd,0*zerosd,'ro')

plot([-2*pi,2*pi] , [0,0], 'g-.'); % Plot x-axis title('Zeros of f3') hold off;

Для этого случая график 13 с найденными корнями представлен на рис. 3.18. Нетрудно заметить, что на нем есть еще один корень.

Рис. 3.17. График функции f3 с найденными нулями

Нахождение и визуализация локальных экстремумов

Теперь найдем локальные экстремумы функции f2 и выполним построение графика функции с ними:

» [zerosd; subs(f2,zerosd)] ans =

• 0 2.4483 -2.4483 3.1416
• 0.0494 1.0051 1.0051 -4.0000

» elf

ezplot (f2)

axis([-2*pi 2*pi -4.5 1.5])

ylabel (' f 2 ') ;

title('Maxima and Minima of f2')

hold on

plot(zerosd, subs(f2,zerosd), 'ro')

text (-4, 1.25, 'Absolute maximum')

text(-1,-0.25,'Local minimum')

text (.9, 1.25, 'Absolute maximum') text(1.6, -4.25, 'Absolute minimum')

hold off;

Этот график представлен на рис. 3.18 и дает наглядное представление о положении найденного локального максимума и двух локальных минимумов. Таким образом анализ функции можно считать завершенным.

) Figure No. 1

File Edit View Insert Tools Window Help

I) d й н i к a z / & 0 о

Рис. 3.18. График функции [2 с найденными локальными экстремумами

Объективно оценивая возможности пакета Symbolic Math, нельзя не отметить, что система Мар! 8 имеет удобные и законченные средства для подобного и даже расширенного анализа функций одной переменной.