Базис-пространство столбцов — colspace

Функция colspace (А) возвращает матрицу, столбцы которой являются образующими базиса пространства. Ранг целочисленной матрицы А равен size (в, 2). Примеры:

» syms а b с;

А= [а

b с; а b с;

а b с]

А =

[ а, Ь, с]

( а, Ь, с]

[ а, Ь, с]

>> colspace(А)

ans =

[ 1]

[ 1]

[ 1]

>> colspace(sym(magic (3)))

ans =

[ 1, 0, 0]

[ 0, 1, 0]

[ 0, 0, 1]

Вычисление собственных значений и векторов матриц

Для вычисления собственных значений и собственных векторов матриц используется функция eig, имеющая ряд форм записи:

• • LAMBDA=eig (А) — формирует символьный вектор lambda собственных значений квадратной матрицы а;
• • [v,D]=eig(A) — возвращает матрицу V, столбцы которой являются векторами собственных значений матрицы а, и диагональную матрицу D собственных значений. Если размеры v и а одинаковы, то А имеет полную систему независимых собственных векторов. При этом A*V = V*D;
• • [v,D,P]=eig(A) — дополнительно к сказанному возвращает вектор индексов Р, длина которого равна числу линейно независимых векторов. При этом A*v = v*D (Р, Р);
• • LAMBDA=eig (VPA (А)) и [v, D]= eig(VPA(A)) — возвращают численные значения собственных векторов и собственных значений в формате арифметики с произвольной точностью. Если матрица А не имеет полной системы собственных векторов, то столбцы матрицы V будут линейно зависимыми.

Примеры:

» syms abed

>> А=[а b; cd]

А =

[ а, Ь]

[ с, d]

» eig(А)

ans =

[ l/2*a+l/2*d+l/2*(a^A2-2*a*d+d^A2+4*b*c)^л (1/2)]

[ l/2*a+l/2*d-l/2*(a^A2-2*a*d+d^A2+4*b*c)^л (1/2)]

» M= [ 1 2 3; 4 5 6; 9 8 7] ;

» L=eig(М)

L =

• 15.3459
• -2.3459
• -0.0000

» [V,D]=eig(M)

Сингулярное разложение матриц — svd

Для сингулярного разложения матриц используется функция svd в ряде форм:

• • S!GMA=svd(A) — возвращает вектор сингулярных значений символьной матрицы а;
• • S!GMA=svd (VPA (А) ) — возвращает численные сингулярные значения в формате арифметики произвольной точности;
• • [U, S, V] =svd (А) и [и, S, V] =svd (VPA (А) ) — возвращает унитарные матрицы и и v и диагональную матрицу s сингулярных значений, для которых А = u*s*v'. Эти вычисления возможны только в численной форме.

Примеры:

» A=sym(magic(3)) А =

[ 8, 1, 6]

[ 3, 5, 7]

[ 4, 9, 2]

» svd(А)

ans =

[ 15]

[ 2*3^Л (1/2)]

[ 4*3^Л (1/2)]

>> digits (6)

» [U,S,V]=svd(А) U =

Вычисление канонической формы Жордана

Функция jordan (А) возвращает каноническую форму Жордана для символьной или численной матрицы А. Матрица А должна задаваться точно (элементы должны быть целыми или рациональными числами), поскольку даже малая погрешность способна исказить структуру клеток Жордана. В форме [V, J] = jordan (А) вычисляются как каноническая форма Жордана J, так и матрица подобия V, так что VA*V = J. Столбцы матрицы V являются обобщенными собственными векторами. Примеры:

» A=sym(magic(3)) А =

[ 8, 1, 6]

[ 3, 5, 7]

( 4, 9, 2]

» J=jordan(А)

J =

[15, 0, 0 ]

[ 0, -2*6^Л(1/2) , 0 ]

[ О, О, 2*6^Л (1/2)]

» [V, J]=jordan(А)

Вычисление характеристического полинома матриц — poly

Для вычисления характеристического полинома матриц используется функция poly:

• • poly (А) — возвращает характеристический полином матрицы а, используя (по умолчанию) переменную ' х' или ' t';
• • poly (A, v) — действует аналогично, но позволяет задать переменную ' v' полинома.

Пример:

» syms abed;

» А= [ а Ь; с d] ;

>> poly(А,'р')

ans =

p^A2-p*d-a*p+a*d-b*c

Вычисление матричного экспоненциала

Для вычисления матричного экспоненциала матрицы А используется функция ехрт(А). Рассмотрим пример ее применения:

» syms t;

» A=[l 0; 0 -1] А =

• 1 0
• 0 -1

» expm(t*A) ans =

[ exp (t), 0]

[ 0, exp(-t)]