Обращение матрицы
Напоминаем, что обращением квадратной матрицы X называют результат деления единичной матрицы Е того же размера, что и исходная матрица, на эту матрицу, то есть X-1 — Е/Х. Для обращения (инвертирования) матрицы в символьном виде используется функция inv:
>> syms abed;
>> inv ( [a b;с d])
ans =
[ d/(a*d-b*c), —b/(a*d-b*c)]
[ -с/(a*d-b*c), a/(a*d-b*c)]
Вычисление детерминанта и ранга матрицы
Функция det (X) вычисляет детерминант квадратной матрицы в символьном виде. Пример:
>> syms abed;
>> det([a b; cd]) ans =
a*d-b*c
Для вычисления ранга квадратной матрицы используется функция rank:
- • rank(A,tol) — число сингулярных значений матрицы А, определенных с погрешностью tol;
- • rank (А) — аналогично предшествующей функции при
tol=max(size(А))*norm(A)*eps.
Пример:
» syms a b с d;
>> rank([a b;с d]) ans = 2
Приведение матриц к треугольным формам
Для приведения матрицы к верхней треугольной форме используется функция rref:
- • rref (А) — осуществляет приведение матрицы к треугольной форме, используя метод исключения Гаусса с частичным выбором ведущего элемента. По умолчанию значение порога допустимости для незначительного элемента столбца принимается равным (max (size (А) ) *eps *norm (A, inf) ).
- • [R, jb] = rref (A) — дополнительно возвращает вектор jb, такой что
- - г = length (jb) может служить оценкой ранга матрицы А;
- - x(jb) — связанные переменные в системе линейных уравнений Ах = Ь;
- - А (:, jb) — базис матрицы а;
- - R(l:r,jb) — единичная матрица размера rxr.
- • [R, jb] = rref (A,tol) — осуществляет приведение матрицы к треугольной форме, используя метод исключения Гаусса с частичным выбором ведущего элемента для заданного значения порога допустимости tol.
Нуль-пространство матрицы
Функция z = null (А) возвращает матрицу z, столбцы которой являются базисом нуль-пространства целочисленной матрицы А. Число столбцов матрицы z задает размер нуль-пространства. При этом A*Z=0, а если матрица А имеет полный ранг, то матрица z будет пустой. Пример:
» syms а b с;
>> А=[а b с; a b с;а b с] А =
[ а, Ь, с]
[ а, Ь, с]
[ а, Ь, с]
» null(А)
ans =
[ -1/а*с, -1/а*Ь]
[ 0, 1]
[ 1, 0]
