Система нормальных уравнений и явный вид ее решения при оценивании методом наименьших квадратов линейной модели парной регрессии

Ответ

Предположим, что в ходе регрессионного анализа была установлена линейная взаимосвязь между исследуемыми переменными х и у, которая описывается моделью регрессии вида

yi=[)o+Pixi+e (1)

В результате оценивания этой эконометрической модели определяются оценки неизвестных коэффициентов. Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на (МНК), который позволяет получить такие оценки параметров До и /?/, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака у от расчетных (теоретических) У минимальна:

= ZU “Л)2 = Ё(Л "До "Дл) -> min. (2)

х=1 i=l

В процессе минимизации функции (1) неизвестными являются только значения коэффициентов fio и Pi, потому что значения результативной и факторной переменных

известны из наблюдений. Для определения минимума функции двух переменных вычисляют частные производные этой функции по каждому из оцениваемых параметров и приравнивают к нулю. Результатом данной процедуры будет стационарная система

уравнений для функции:

ДГ п

(2)

Если разделить обе части каждого уравнения системы на (-2), раскрыть скобки и привести подобные члены, получим систему нормальных уравнений для функции регрессии видау,=/70+Д/х,:

ДЁ*,2+Д<>Ё-4 = Ёх<- -У1 /=1 1=1 /?=]

<

Д1Х^ + Д>-« = Ёл

/=1 /=1

Если решить данную систему нормальных уравнений, то получим искомые оценки неизвестных коэффициентов модели регрессии/Зои/if.

ху - х ? у _ Cov(x, у) х22 ? (?2(х) ;

где У — среднее значение зависимой переменной;

х — среднее значение независимой переменной;

  • среднее арифметическое значение произведения зависимой и независимой переменных;
  • (х) — дисперсия независимой переменной;

Cov{x,y) — ковариация между зависимой переменной у и независимой переменной х.

Таким образом, явный вид решения системы нормальных уравнений может быть записан следующим образом:

1 х2

. А = у - Д • *•

Оценка коэффициентов модели парной регрессии с помощью выборочного коэффициента регрессии

Ответ

Помимо МНК, с помощью которого в большинстве случаев определяют неизвестные параметры модели регрессии, в случае линейной модели парной регрессии осуществим иной подход к решению данной проблемы.

Линейная модель парной регрессии может быть записана в виде

= +

где у — значения зависимой переменной;

х — значения независимой переменной;

У — среднее значение зависимой переменной, которое определяется на основании выборочных данных и вычислено по формуле средней арифметической

77

у, — значения зависимой переменной, 1 -

77 — объем выборки;

х — среднее значение независимой переменной, которое определяется на основании выборочных данных и вычислено по формуле средней арифметической

Параметр /}ух называется выборочным коэффициентом регрессии переменной у по переменной х. Этот параметр показывает, на сколько в среднем изменится зависимая переменная у при изменении независимой переменной х на единицу своего измерения.

Выборочный коэффициент регрессии переменной у по переменной х рассчитывается по формуле

где гух выборочный парный коэффициент корреляции между переменными у и х, который рассчитывается по формуле

ух - у • X

r-=~Ts~’^

У[1] — среднее арифметическое значение произведения зависимой и независимой переменных:

S, — показатель выборочного среднеквадратического отклонения зависимой переменной у,характеризующий, на сколько единиц в среднем отклоняются значения зависимой переменной у от се среднего значения У . Он рассчитывается по формуле

У' — среднее значение из квадратов значений зависимой переменной у:

п

2

У — квадрат средних значений зависимой переменной у:

;(9)

— показатель выборочного срсднсквадратичсского отклонения независимой переменной х, характеризующий, на сколько единиц в среднем отклоняются значения независимой переменной х от ее среднего значения 1 . Он рассчитывается по формуле

и

„2 „

* — квадрат средних значении независимой переменной х:

•(12)

При использовании рассмотренного подхода оценивания неизвестных параметров

линейной модели парной регрессии следует учитывать что гух=г^, однако pv#P.vv.

  • [1] 2 — среднее значение из квадратов значений независимой переменной х:
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >