Распределение ошибок, отличающееся от нормального
Рассмотрим гипотетическое распределение ошибок, полученное при 50 замерах, скорректированное под нормальное распределение (рис. 2.14). Вероятная ошибка для каждого распределения составляет примерно 0,5.
Рис. 2.14. Гистограммы для 50 ошибок, распределенных по нормальному и равномерному законам
Для нормального распределения сумма квадратов этих 50 отклонений будет равна:
X АХ2= 6 ? (О)2 + 10(0,2)2+10(0,4)2 + 8(0,6)2 + 6(0,8)2 + + 4 (1,0)2 + 2 (1,2)2 + 2 (1,4)2 + 2 (2,0)2 = 26,52.
Среднее квадратическое отклонение:
[УТдхр с = 1 ---— =0,737.
V п-1
Вероятная ошибка Ф = 0,6745с = 0,495, т.е. в диапазоне ± 0,5 находится половина (25) всех измерений.
Рассмотрим равномерное распределение (распределение рулетки), подобранное таким образом, чтобы вероятная ошибка составляла ± 0,5 см. Вычислим снова сумму квадратов отклонений:
?дЛ2=10(0,1)2 + 10 (0,3)2+ 10 (0,5)2 + + 10 (0,7)2 + 10 (0,9)2 = 16,5.
Среднее квадратичное отклонение равно 0,58 см (для нормального распределения 0,737). Вероятная ошибка Ф = 0,392 (вместо 0,495 для нормального закона). Очевидно, что очень немногие распределения будут так отличаться от нормального, как равномерное. Но даже в этом случае вероятная ошибка отличается только примерно на 20%. Поэтому можно пользоваться оценками точности для любого распределения как для нормального, если ошибка в 20% несущественна.
Оценка точности при малом числе измерений. Распределение Стьюдента
Рассмотренные способы оценки точности применимы к большому числу измерений. При уменьшении числа измерений N они становятся все более приближенными и даже неправильними, так как реальное распределение погрешностей при небольшом числе измерений значительно отличается от нормального распределения. Во многих практических задачах не представляется возможным производить большое число замеров или проб. Задача заключается в нахождении закона распределения погрешностей, справедливого для небольшого числа N. Эта задача решена Стьюдентом, распределение которого независимо от дисперсии о2, что позволяет производить оценку даже при N=2.
Распределение Стьюдента определено при условии: если 7V-»<*>, то справедлив закон Гаусса.
Если в нормальном законе рассматривается распределение погрешностей, то в распределении Стьюдента — распределение относительной величины /, равной отношению погрешности среднего к среднеквадратической погрешности среднего:
Х^-Х
V7V(#-1)
Отметим, что знаменатель равен среднеквадратичной погрешности результата только при большом числе N.
Величина t— случайная. Плотность распределения величины /определяется зависимостью:
dP/dt=S(N) = C(7V){ 1 + t2/(N — V)}~N/2.
Здесь C(N) — множитель, зависящий от числа измерений.
В соответствии с заданной надежностью и числом выполненных опытов определяется величина tx. Поэтому справедливо неравенство tx < (хср - x)/s < + /1? и следовательно, х = хср± txs.
Значения величины tx приведены в табл. 2.3.
Таким образом, определив среднее из результатов нескольких параллельных измерений и коэффициент Стьюдента по табл. 2.2, можно с заданной надежностью определить диапазон, в котором лежит истинное значение измеряемой величины.
Таблица 2.3
|
Надежность |
|||||||||
|
N |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
0,95 |
0,98 |
0,99 |
0,999 |
|
2 |
1,000 |
1,376 |
1,963 |
3,078 |
6,314 |
12,706 |
31,821 |
63,657 |
636,619 |
|
3 |
0,816 |
1,061 |
1,336 |
1,886 |
2,920 |
4,303 |
6,965 |
9.925 |
31,598 |
|
4 |
0,765 |
0,978 |
1,250 |
1,638 |
2,353 |
3,182 |
4,541 |
5,841 |
12,941 |
|
5 |
0,741 |
0,941 |
1,190 |
1,533 |
2,132 |
2,776 |
3,747 |
4,604 |
8,610 |
|
6 |
0,727 |
0,920 |
1,156 |
1,476 |
2,015 |
2,571 |
3,365 |
4,032 |
6,859 |
|
7 |
0,718 |
0,906 |
1,134 |
1,440 |
1,943 |
2,447 |
3,143 |
3,707 |
5,959 |
|
8 |
0,711 |
0,896 |
1,119 |
1,415 |
1,895 |
2,365 |
2,998 |
3,499 |
5,405 |
|
9 |
0,706 |
0,889 |
1,108 |
1,397 |
1,860 |
2,306 |
2,896 |
3,355 |
5,041 |
|
10 |
0,703 |
0,883 |
1,100 |
1,383 |
1,833 |
2,262 |
2,821 |
3,250 |
4,781 |
Значения величины
