Прогнозирование на основе кривых роста

Прогнозирование социально-экономических явлений на основе кривых роста (кривых насыщения) стало применяться сравнительно недавно. Впервые эти методы были использованы в начале XX века для прогнозирования роста биологических популяций. Однако кривые роста хорошо себя зарекомендовали и при прогнозировании социально-экономических явлений. Их применение в этом случае требует соблюдения определенных условий.

  • 1. Исходный временной ряд должен быть достаточно длинным (30-40 лет).
  • 2. Исходный временной ряд не должен иметь скачков, и тенденция такого ряда должна описываться достаточно плавной кривой.

3. Использование кривых роста в прогнозировании социально-экономических явлений может давать достаточно хорошие результаты, если предел насыщения будет определен сравнительно точно.

Следует отметить, что кривые роста отражают кумулятивные возрастания к определенному заранее максимальному пределу.

Особенностью кривых роста является то, что абсолютные приращения уменьшаются по мере приближения к пределу. Однако процесс роста идет до конца.

Значение кривых роста как методов статистического прогнозирования социально-экономических явлений состоит в том, что они способствуют эмпирически правильному воспроизведению тенденции развития исследуемого явления.

Наиболее распространенными кривыми роста, используемыми в статистической практике прогнозирования, являются кривая роста Гомперца и кривая роста Пер ля-Рид а.

Обе кривые, в общем, похожи одна на другую и графически изображаются S-образной кривой.

Особенностью уравнений этих кривых является то, что их параметры могут быть определены методом наименьших квадратов лишь приближенно. Для расчета параметров этих кривых используется ряд искусственных методов, основанных на разбиении исходного ряда динамики на отдельные группы.

Например, для того чтобы осуществить прогноз на основе кривой роста Гомперца (она названа так в честь английского статистика и математика, впервые применившего эту кривую для прогнозирования в страховании), необходимо выполнить следующее:

1. кривая описывается уравнением:

у = а ? ЬсХ; (3.43)

2. прологарифмировав уравнение, получаем: где:

lg а - логарифм максимального значения, к которому приближается прогнозный уровень явления;

lg b - расстояние, которое отделяет в каждый данный момент значение уровня от его максимального значения;

с - принимает значение от нуля до единицы;

х - начало на шкале х, к которому относится первое значение уровня (t = 0,1, 2,..., п);

3. затем весь ряд динамики разбивается на три приблизи

тельно равные части:

1

ni = — длины ряда;

  • 4. для каждой выделенной части рассчитываются суммы логарифмов значений уровней Si, S2, S3;
  • 5. определяются первые разности по этим суммам:

di = S2 - Si;

d2 = S3-S2; (3.46)

6. на основании этих расчетов получим параметры уравнения с, lg a, lg b, которые рассчитываются следующим образом:

k d,

с = —

d, '

где:

к - число уровней ряда в каждой части;

, , d’(C

gк-1)2' (3-47)

1 / di

Чтобы использовать данную кривую для экстраполяции за пределы исходного ряда динамики, достаточно подставить соответствующее значение х в уравнение кривой.

Пример. Произвести прогноз прибыли одного из предприятий автомобильной промышленности на основе кривой роста Гомперца.

Таблица 3.3

Расчетная таблица определения промежуточных расчетов кривой Гомперца

Месяц

У1

18

X

'gy

yt

январь

377,3

2,577

0

2,5874

380,7230

февраль

413,2

2,616

1

2,6216

418,408

март

446,0

2,649

2

2,6487

445,3485

апрель

473,9

2,676

3

2,6701

467,8429

май

497,2

2,697

4

2,6871

486,5192

июнь

514,3

2,711

5

2,7005

501,7646

июль

529,9

2,724

6

2,7111

514,162

август

520,8

2,717

7

2,7195

524,2036

сентябрь

519,7

2,716

8

2,7262

532,3534

октябрь

525,7

2,721

9

2,7315

538,8898

ноябрь

536,6

2,730

10

2,7356

544,0014

декабрь

542,6

2,734

11

2,7389

548,1507

январь

551,4

2,741

12

2,7415

551,4422

февраль

555,0

2,744

13

2,7436

554,1151

март

570,4

2,756

14

2,7452

556,1603

У = abc*

Igy = Iga + (lgb)cx

Si = 13,215 S2 = 13,589 S3 = 13,705

d 1= S2 - Si = 13,589 - 13,215 = 0,374 d2 = S3 - S2 = 13,705 -13,589 = 0,116

C5 _ 0Д16 = 0 2 c = 5/0 3102 = о 7913

0,374

Анализ временных рядов и прогнозирование

, , 0,374(0,7913- 1) п

lg ь = —---—----= о, 1640

& (0,3102- I)2

1 / 0,374

lga = - 13,215 — о о—- = 2,7514 5 5 0,3102 — 1/

Igy = 2,7514 - 0,1640 ? 0,7913х

х= 13

lgy = 2,7436

х= 14 Igy = 2,7452

х= 15 lgy = 2,7465

Уо2= 554,1151

Уоз= 556,1603 у Q4= 559,1135

аош = 11,79.

Наряду с кривой роста Гомперца достаточно широкое распространение получила кривая роста Перля-Рида, которая в прогнозировании социально-экономических явлений впервые была использована для демографических расчетов американским учеными - биологом Р. Перлем и математиком Л. Ридом.

Эта кривая выражает модифицированную геометрическую прогрессию, в которой возрастание затухает по мере приближения к некоторому определенному пределу. Максимальный предел устанавливается, прежде всего, на основании конкретного изучения исследуемого социально-экономического явления.

Так же, как и кривая Гомперца, кривая Перля-Рида использует тот же искусственный прием для определения параметров кривой. Однако следует отметить, что по сравнению с кривой Гомперца прогнозные данные, полученные по этой кривой, имеют некоторую неопределенность.

Кривая роста Перля-Рида описывается уравнением:

  • 1
  • — = а+Ьс (3.48)

Параметры уравнения находятся следующим образом:

kd2 di(c-l) 1 с =Ti b = -^w: a = k

(3.49)

Из приведенных расчетов видно, что параметры уравнения кривой роста Перля-Рида определяются так же, как и параметры кривой роста Гомперца, за исключением того, что в последнем случае не используется прием логарифмирования. Кроме того, нужно иметь в виду, что в зависимости от масштаба данных величина - умножается на 10,100 и т.д.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >