Выбор формы тренда

Остановимся подробнее на проблеме выбора математической функции для описания основной тенденции развития.

Для отображения основной тенденции развития явлений во времени или модели этого процесса применяются полиномы разной степени, экспоненты, логистические кривые и другие функции.

Полиномы имеют следующий вид:

полином первой степени yt = а0 + аг1,

полином второй степени у = а0 + аД + a2t2, (2-25)

полином n-й степени у = а0 + a2t + a2t2 +... + aktk.

Наиболее простым путем решения проблемы выбора формы трендовой модели можно назвать графический, на базе общей конфигурации графика фактических уровней ряда. Однако при этом подходе риск ошибочного выбора кривой очень велик. Разные специалисты, исходя из одного и того же графика, могут прийти к разным заключениям по поводу формы уравнения. Однако в несложных случаях подход графического выбора может дать вполне приемлемые результаты.

Подбор класса выравнивающих кривых для временного ряда производится на основе качественного анализа представленного им процесса, а также если известны:

А1, А2, А3.......А* - первые, вторые, третьи и т.д. разности

или абсолютные ускорения;

Трд- - темпы роста первых абсолютных приростов уровней;

A'lgyi - первые абсолютные приросты логарифмов уровней;

Тр - темпы роста.

В этих случаях критерии выбора типа кривой следующие (табл. 2.11).

Таблица 2.11

Критерии выбора класса выравнивающих кривых

Показатель

Изменение уровней временного ряда

Уравнение кривой

Наименование функции

Д'

более или менее постоянные

yt=a0+ait

линейная

Д'

уменьшающиеся

yt=a0+ai/t

гиперболическая

Д"

постоянны

yt=ao+ait+ a2t2

параболическая 2-ой степени

Д"'

постоянны

yt=ao+ait+ a2t2+ a3t3

параболическая 3-ей степени

Д"”

постоянны

yt=ao+ait+ a2t2+ a3t3+ а4Й

параболическая 4-ой степени

ТрД1

постоянны

yt= ao-a?

экспоненциальная

Трд-

сначала быстро растут, а затем рост изменяется

yt=a0+ailgt

полулогарифмическая

A'lgyj

изменяется с постоянным темпом роста

yt=abc X

кривая Гомперца

Для полиномиальных моделей характерно отсутствие прямой связи между абсолютными приростами и приростами уровней рядов динамики.

Предполагаемой функцией, отражающей процесс роста явления, может быть и экспонента yt =aQ-a . Экспоненты характеризуют прирост, зависящий от величины основания функции. Прологарифмировав левую и правую части, найдем lg yt 1ga{, то есть логарифмическую кри

вую. После замены lg ао = со и lg ai = ci получим уравнение lg у = с0 + сф, из которого видно, что логарифм ординаты линейно зависит от t.

Практика моделирования свидетельствует о том, что выбор тех или иных кривых всегда оказывается под воздействием представлений о желаемой форме кривой, и что на координатном поле, отображающем расстояние точек, можно построить бесконечное множество кривых. При этом необходимо отражать особенности процесса. Свойства процесса должны соответствовать свойствам функций, используемых для построения моделей.

Надо иметь в виду, что отдельные уравнения выражают определенный тип динамики.

Монотонное возрастание или убывание процесса характеризуют функции:

  • - линейная;
  • - параболическая;
  • - степенная;
  • - экспоненциальная простая (показательная) и производная от нее логарифмическая линейная;
  • - сложная экспоненциальная и производная от нее логарифмическая парабола;
  • - гиперболическая (главным образом убывающих процессов);
  • - комбинация их видов.

Для моделирования динамических рядов, которые характеризуются стремлением к некоторой предельной величине, насыщением, применяются логистические функции.

Логистическую функцию часто записывают в следующем виде:

= <2-26)

где:

е - основание натуральных логарифмов.

Логистическая кривая симметрична относительно точки перегиба и при t = — оо стремится к нулю, а при t = + оо стремится к некоторой постоянной величине, к которой кривая асимптотически приближается. Если найти вторую производную от yt по t и приравнять ее к нулю, то для логистической кривой, выражаемой через е, место положения точки перегиба кривой равно: t = 1g a1 : а0; у = п: 2.

Тип процессов, характеризующихся наличием экстремальных значений, описывается кривой Гомперца, имеющей следующее выражение:

yt = axbc (2.27)

Прологарифмировав функцию Гомперца, получим:

Igy, =lga + lgbxcx.

При выборе формы тренда наряду с теоретическим анализом закономерностей развития изучаемого явления используются эмпирические методы, такие как:

  • - расчет и анализ средней квадратической ошибки;
  • - критерий наименьшей суммы квадратов отклонений эмпирических значений уровней временного ряда от теоретических, полученных по уравнению;
  • - метод разностного исчисления;
  • - метод дисперсионного анализа.

Средняя квадратическая ошибка определяется по формуле: где:

^ош

Ш-ус)2

п — к — 1’

(2.28)

к - число параметров уравнения.

Чем меньше значение средней квадратической ошибки, тем функция наилучшим образом описывает тенденцию исходного временного ряда.

На основе данных табл. 2.10 рассмотрим порядок расчета средней квадратической ошибки по линейному тренду и параболе второго порядка показателя объема платных услуг населению одного из регионов РФ, представленных в табл. 2.12.

Так, например, для уравнения линейного тренда, средняя квадратическая ошибка составит:

Анализ приведенных значений средних квадратических ошибок свидетельствует о том, что уравнение параболы второго порядка наиболее точно описывает тенденцию изменения объема платных услуг населению.

Критерий наименьшей суммы квадратов отклонений эмпирических уровней от теоретических ^(yt-yt)2--->min

также предполагает, что наилучшим образом тенденция описывается трендом, которому соответствует наименьшее значение суммы квадратов отклонений.

Так на основе приведенных в табл. 2.12 расчетов видно, что для уравнения линейного тренда, описывающего тенденцию изменения объема платных услуг населению S(yc — yt)2 = 5,44, а для уравнения параболы второго порядка S(yt — yt)2 = 4,54. Следовательно, уравнение параболы второго порядка наиболее точно описывает тенденцию изменения объема платных услуг населению одного из регионов РФ.

Дисперсионный метод анализа основывается на сравнении дисперсий.

Суть метода в следующем: общая вариация временного ряда делится на две части:

  • • вариация вследствие тенденции Уед;
  • • случайная вариация Ve:

Уобщ = Vf(t) + Ve.

Таблица 2.12

Расчетная таблица для определения средней квадратической ошибки

Месяц

yt

У1 прямая

Ус У,

(У.-Л)‘

У! парабола

УгУг

  • 2
  • (yt-У.)

Январь

21,4

21,82

-0,42

0,18

21,283

0,117

0,014

Февраль

22,1

22,68

-0,58

0,34

22,423

-0,323

0,104

Март

23,9

23,54

0,36

0,13

23,507

0,393

0,154

Апрель

24,3

24,40

-0,10

0,01

24,535

-0,235

0,055

Май

24,9

25,26

-0,36

0,13

25,507

-0,607

0,368

Июнь

26,9

26,12

0,78

0,61

26,423

0,477

0,228

Июль

28,0

26,98

1,02

1,04

27,283

0,717

0,514

Август

28,5

27,84

0,66

0,44

28,087

0,413

0,171

Сентябрь

28,8

28,70

0,10

0,01

28,835

-0,035

0,001

Октябрь

28,6

29,56

-0,96

0,92

29,527

-0,927

0,859

Ноябрь

29,3

30,42

-1,12

1,25

30,163

-0,863

0,745

Декабрь

31,9

31,28

0,62

0,38

30,748

1,152

1,327

ИТОГО

318,6

-

-

5,44

-

-

4,540

Анализ временных рядов и прогнозирование

Общая вариация определяется как сумма квадратов отклонений эмпирических значений уровней ряда (yt) от среднего уровня исходного временного ряда (у), то есть из выражения вида:

п

И„ = ^6'с-у)2. (2.29)

t=l

Случайная вариация - это сумма квадратов отклонений эмпирических значений уровней (yt) от теоретических полученных по уравнению тренда (yt), и определяется по выражению следующего вида:

п

^ = ^(у??)2. (2.30)

t=l

Вариация вследствие тенденции определяется как разность общей и случайной вариаций из выражения вида:

Vf(t) = VO6Hi-Ve. (2.31)

На основе рассмотренных показателей вариации определяются следующие виды дисперсии:

общая дисперсия:

  • 2 _ Кзбщ _ yt) °"бщ “ ^1 - п-1 :
    • (2.32)
    • (2.33)
    • (2.34)

дисперсия случайного компонента:

2 vc S(yt-yt)2 =-----=----------;

п — к п — к

где:

к - число параметров уравнения тренда.

дисперсия тенденции:

и п

  • ? _ У/(0 _ уобщ - _ У (yt - у)2 ~yyt~ у)2
  • - к_г -fej

к-1

Выдвигается и проверяется гипотеза о том, что не подходит рассматриваемое уравнение тренда для описания тенденции исходного временного ряда.

Гипотеза проверяется на основе F-критерия Фишера-Снедекора, расчетное значение которого определяется по следующей формуле:

2

Fp = 'если СТГ«> > (2-35)

Критическое значение критерия определяется по таблице табулированных значений (приложение) следующим образом:

а

F •

1 кр’

Vi = к - 1. у2 = п - к

Если Fp > FKp при заданном уровне значимости а и числе степеней свободы (vi =k - 1, V2 = n - k), то уравнение тренда подходит для отражения тенденции исходного временного ряда.

Анализ необходимо начинать с более простого уравнения к сложным.

Пример. Проверим с помощью дисперсионного метода анализа, какое из двух рассмотренных выше (табл. 2.12) уравнений тренда наиболее подходит для описания тенденции исходного временного ряда объема платных услуг населению одного из регионов РФ. Расчеты приведены в табл. 2.13.

Средний уровень исходного временного ряда составит:

  • 21,4+ 22,1+ ... + 31,9 318,6
  • 12

“ , ~ = 26,55

12

Таблица 2.13

Расчетная таблица реализации дисперсионного метода анализа в оценке трендовых моделей объема платных услуг населению одного из регионов РФ за период январь-декабрь 2010 г.

Месяц

yt

yt - у

(у.-у)[1]

(y.-yj

прямая

(у.-у.Г парабола

январь

21,4

5,15

26,52

0,18

0,014

февраль

22,1

4,45

19,80

0,34

0,104

март

23,9

2,65

7,02

0,13

0,154

апрель

24,3

2,25

5,06

0,01

0,055

май

24,9

1,65

2,72

0,13

0,368

июнь

26,9

0,35

0,12

0,61

0,228

июль

28,0

1,45

2,10

1,04

0,514

август

28,5

1,95

3,80

0,44

0,171

сентябрь

28,8

2,25

5,06

0,01

0,01

октябрь

28,6

2,05

4,20

0,92

0,859

ноябрь

29,3

2,75

7,56

1,25

0,745

декабрь

31,9

5,35

28,62

0,38

1,327

Итого

318,6

-

112,58

5,44

4,540

  • 112,58
  • 1231 =1023
  • 5,44

, - = °'544

и — к 12 — 2

К)бЩ = ^/(t) +

Vf(t) = Ц)бщ - Уе = 112,58 - 5,44 = 107,14

и - 1

VE

и - 1

2(yt - У)2

о24(О = 107Д4

ад ы 2-1

F Лк=2^=1%95

р 0,544

: ( а; vi = к-1 = 1; V2 = п-к = 12-2 = 10); Fkp = 4,96.

Следовательно, с вероятностью 95% можно утверждать, что уравнение линейного тренда подходит для описания тенденции исходного ряда объема платных услуг населению.

2. Проверим методом дисперсионного анализа, подходит ли уравнение параболы второго порядка для описания тенденции в изменении объема платных услуг населению РФ:

у, =26,86+0,431-0,00712

  • 2 Ио6щ S(yt-y)2 112,58
  • 12-1 = 10'23;
  • 4,54 ——о = 0,504 12-2

а°бщ п-1 п-1

2_ Ve S(yt-yt)2

п-к п-к

Vf(t)=Vo6nl -VE =112,58-4,54=108,04

, _ % _ 108,04 о #z. -----54,1)2

f(t) k-1 3-1

2

F =^ф-=-^^=107,18 p о2 0,504

F^ :(a; n = k-l = 2; n= n-k = 12-3 = 9); Fkp=4,26.

Fp У Fkp => гипотеза отвергается.

Следовательно, с вероятностью 95% можно утверждать, что уравнение параболы второго порядка подходит для описания тенденции исходного ряда динамики объема платных услуг населению одного из регионов РФ.

Отдельно взятый критерий или метод при выборе формы тренда не обеспечивает правильность ее выбора. Необходим обязательно учет специфики объекта исследования, мегодов прогнозирования и оценки точности и надежности получаемых прогнозов.

После того, как определена форма трендовой модели (уравнения), необходимо проанализировать наличие, характер и закон распределения отклонений эмпирических значений от теоретических, полученных по уравнению тренда.

  • [1] 2 ли уравнение линейного тренда для описания тенденции в 3 изменении объема платных услуг населению: 4 yt = 26,55 + 0,43t 5 2 _ 1общ _2СИ?-Л)2 6 ^общ —---
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >