Критерий нормальности распределения

Знание характера распределения вариант однородных объектов в генеральной совокупности имеет существенное значение при определении границ, в которых находится генеральное среднее. Для решения вопроса о принадлежности генеральной совокупности, из которой сделана выборка к нормальной необходимо определить коэффициент ассиметрии (Л), составленного эмпирического (опытного) распределения и коэффициент эксцесса (Е). Статистически необходимым условием нормальности распределения следует считать одновременное не превышение опытных величин А и Е соответствующих теоретических значений при определенной доверительной вероятности и объеме выборочной совокупности. Поскольку распределение выборочного коэффициента эксцесса заведомо ассиметрично. Проверка того существенен ли эксцесс распределения производится по критерию:

где с - критерий для оценки эксцесса, его существенности; а - выборочная оценка среднего абсолютного отклонения;

3 - оценка среднего квадратического отклонения.

Итак, для решения вопроса о принадлежности генеральной совокупности, из которой была сделана выборка к нормальной, необходимо определить коэффициент ассиметрии (Л) опытного распределения и коэффициент эксцесса - (Е).

Расчет эмпирического значения коэффициента ассиметрии по длине плодов производится в следующей последовательности:

• 1. Составляется таблица 17 согласно данным таблицы 16;
• 2. Рассчитываются величины моментов первой (Ь, = = 21 = 2.37лш) и

п 30

второй степени (6, = = А- = 0,17 мм ), данные таблицы 20.

Таблица 20 - Измененные границы классов, частота встречаемости вариант

а=0; р=7; р(0+1)³=7х(0+1)³=7; р₀ = 7; п = 30

3. Необходимо рассчитать начальный момент третьей степени (данные таблицы 21) по следующей формуле:

Ь₃=^~ (24)

п

• - в пятой строчке, обозначенное через -р, приведены числа минус-вариант (-6, -5, 0), имеющих отрицательные отклонения (а), находящиеся по левую сторону от «О».
• - шестая строчка получена алгебраическим суммированием произведений алгебраических сумм частот на соответствующие условные отклонения в первой степени: Е/(+р)+(-р)/а= Хра=5;
• - седьмая строчка: первый результат строки - это сумма произведений сумм частот на соответствующие условные отклонения во второй степени Е(р+р)сг =Хра²=71; второй результат строки - это сумма частот встречаемости без учета знаков умноженное на соответствующее условное отклонение Z/p/a-37;
• - восьмая строчка - алгебраическое суммирование произведений алгебраических сумм частот на условное отклонение (а) в третьей степени: 2’/f+_jp7+f-/9/^⁵⁼ Ера³=65;
• - девятая строчка - сумма произведений частот с положительным отклонением на третью степень соответствующего отклонения, увеличенного на единицу: Е(+р)(а+1)³=321, затем к этой сумме нужно прибавить величину р(0+1)³=7х(0+1)³=7, которая называется произведением частоты с нулевым отклонением на куб этого отклонения, увеличенного на единицу: Е(+р)(а+1)³=321 + 7=328;
• - десятая строчка - сумма произведений частот с отрицательными отклонениями на третью степень соответствующего отрицательного отклонения, увеличенного на единицу: Е(-р)(-а+1)³=5;
• - одиннадцатая строчка - Е(+р)(а+1)³+Е(-р)(-а+1)³=328 + 5 = 333;
• - двенадцатая строчка - Е(+р)а = 6x1+3x2+3x3=21 Е(+р)а = 21

Е(+р)= 12

Е/(-р)а/=/(-6)х1+(-5)х2+0хЗ/=/-16/=16

Е/(-р)/=/(-6)+(-5) +0/=/-11/=11

Таблица 21

Далее рассчитывается начальный момент первой степени по формуле (6), начальный момент второй степени (11), начальный момент третьей степени по формуле (22) и центральные моменты второго и третьего порядка по формулам (23) и (24):

, _Ъра _ 5

о - - - и.1 / - начальный момент 1 степени;

п 30

Ира² 71 „

о, - - - z.j / - начальный момент 11 степени;

п 30

Ира² 65

о₃ = = =2.17 - начальный момент III степени;

п 30

р₂ ⁼ b₂ ~ 2.37-0.17² = 2,34 - центральный момент второго порядка;

= b₃-3-b₂-b_] + 26,’ - 2.17 - 3 • 2.37 • 0.17 + 2 • 0.17³ - 0.9513 - центральный момент третьего порядка.

После расчета указанных величин рассчитывается коэффициент ас-симетрии по формуле:

(27)

р₃ _ 0.9513 0.9698

p₂-Jp~₂ 2.34-7234 3.5109

Формула расчета коэффициента эксцесса: Е = .— (28)

7^2

Формула для определения модуль вектора а:

• (L(+p) • а + Е /(-р) • а /) + (Z(+p) - Z /(-р)/+ р₀) ? /6, / п
• (29)

В эту формулу подставляются данные таблицы 14 из двенадцатой

строчки.

• (21 + 16) + (12 -11 + 7)х0,17 38,36 , „₀_ а = = = 1,2787
• 30 30

Подставляя полученные значения в формулу (26) получим коэффициент эксцесса:

_{? = = = =} ода»

<Тз4 1,5297

При условии, что коэффициент ассиметрии Аф а коэффициент эксцесса (Е) находится в пределах границ, т.е. А и Е не должны превышать табличные величины, распределение считается нормальным (А₀₅ и A_Oi берутся в таблице 22).