к части II. Анализ некоторых подходов к решению задач векторной оптимизации

В последние два десятилетия вышло много монографий и отдельных статей, посвященных методам решения векторных (многокритериальных) задач. Это связано с широким использованием данных методов в достижении практических целей. Анализ методов и алгоритмов решения многокритериальных задач в соответствии со своей классификацией представлен в ряде работ^[1]. Представим анализ перечисленных ниже методов в соответствии с классификацией, данной в наших работах:

• • методы решения ВЗМП, основанные на свертывании критериев;
• • методы решения ВЗМП, использующие ограничения на критерии;
• • методы целевого программирования;
• • методы, основанные на отыскании компромиссного решения;
• • методы, основанные на человеко-машинных процедурах принятия решения.

Анализ будет проводиться путем сравнения результатов решения тестового примера, полученного по этим методам, с методом, основанном на нормализации критериев и принципа гарантированного результата.

В качестве тестового примера используем следующую нелинейную векторную задачу оптимизации:

opt F(X) = opt {f,(X) = (x, - З)² + (x₂ - 3)², f₂(X) = X, + 2x₂}, (1)

f₍(X) max, f₂(X) max, (2)

при ограничениях

(_X1-1)^{2 +} (x₂-1)²<1, (3)

О

Для решения задачи (1)—(4) по каждому критерию, а в дальней шем и по каждому методу написаны программы в системе Matlab которые на заключительной стадии используют функцию E04UCF -решение нелинейной задачи оптимизации, представленной в систе

ме Matlab. Результаты решения по критерий 1:

fj = max f/X) = f/XJ) = 14.66,

f‘> = min f/X) = f/Xj) = 3.343, критерий 2:

f; = max f₂(X) = f₂(Xp = 5.236, f° = min f}(X) = f₂(Xj) = 0.764,

каждому критерию:

x;= {x,= 0.293, x₂ = 0.293}, x;={x, = 1.707, X₂= 1.707};

X;={x, = 1.447, x₂= 1.894}, Xj = {x, = 0.553, x₂ = 0.105}.

Множество Парето лежит на границе круга, определяемого ограничениями (3), между точками Х^Х*.

Тестовый пример (1)—(4) решался перечисленными выше методами. Результаты решения будут рассмотрены ниже и сведены в табл. 1 (с. 341), также в нее включены результаты решения по каждому критерию. Получившиеся точки оптимума мы покажем на рис. 1 (с. 341).

• [1] См.: Ириков В.А., Ларин В.Я., Самушенко Л.Н. Алгоритмы и программы решения прикладных многокритериальных задач // Изв. АН СССР. Техн, кибернет. 1986. № 5. С. 5-16.; Машунин Ю.К. Методы и модели векторной оптимизации. М.: Наука, 1986. 141 с.; Полищук А.И. Анализ многокритериальных экономикоматематических моделей. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1989. 352 с.; Szido-rovszky Е, Gershon M., Duckstein L. Technigues for Multiobjective desision making in systems management. 1986. 498 p. 2 См.: Машунин Ю.К. Указ, соч.; Он же. Теоретические основы и методы векторной оптимизации в управлении экономическими системами. М.: Логос, 2001. 256 с.