Адаптивные методы прогнозирования

Применение адаптивных методов

При использовании традиционных подходов и методов для прогнозирования важнейших экономических показателей на макро-, мезо- и микроуровнях часто выдвигается гипотеза о том, что основные тенденции и факторы, выявленные из предыстории, сохранятся и для периода упреждения (на прогнозируемый период). Таким образом, процесс экстраполяции выявленных закономерностей, тенденций базируется на предположении об инерционности анализируемых экономических систем.

В последнее время в процессе коренных социально-экономических преобразований в России подвижность этих систем возрастает, возрастает быстрота реакции на конъюнктуру внешнего и внутреннего рынка, на правительственные решения, на новые социально-экономические условия. Даже наиболее инерционные макроэкономические характеристики становятся более подвижными. В связи с этим для прогнозирования таких сложных процессов требуется гибкий и современный статистический инструментарий.

В настоящее время одними из наиболее перспективных в исследовании и прогнозировании одномерных временных рядов считаются адаптивные методы.

Термин адаптация происходит от лат. adaptatio - приспособление. В биологии это слово означает совокупность различных особенностей (морфологических, поведенческих и других) биологического вида, обеспечивающих приспособление к определенным условиям существования, к специфическим особенностям внешней среды. Адаптацией также называется и сам процесс выработки приспособлений. Применительно к прогнозированию процесс адаптации состоит в следующем.

При обработке временных рядов, как правило, наиболее ценной является информация последнего периода, так как необходимо знать, как будет развиваться тенденция, существующая в данный момент, а не сложившаяся в среднем на рассматриваемом периоде. Адаптивные методы позволяют учесть различную информационную ценность уровней временного ряда, степень «устаревания» данных с помощью системы весов, придаваемых этим уровням.

Важнейшее достоинство адаптивных методов - построение самокорректирующихся моделей, способных учитывать результат прогноза, сделанного на предыдущем шаге. Пусть модель находится в некотором состоянии, для которого определены текущие значения ее коэффициентов. На основе этой модели делается прогноз. При поступлении фактического значения оценивается ошибка прогноза (разница между этим значением и полученным по модели). Ошибка через обратную связь поступает в модель и учитывается в ней в соответствии с принятой процедурой перехода от одного состояния в другое. В результате вырабатываются «компенсирующие» изменения, состоящие в коррекции параметров с целью непосредственного согласования поведения модели с динамикой ряда. Затем рассчитывается прогнозная оценка на следующий момент времени, и весь процесс повторяется вновь.

Таким образом, адаптация осуществляется итеративно с получением каждой новой фактической точки ряда. Модель постоянно «впитывает» новую информацию, приспосабливается к ней и поэтому отражает тенденцию развития, существующую в данный момент.

Скорость реакции модели на изменения в динамике процесса характеризует так называемый параметр адаптации. Этот параметр адаптации должен быть выбран таким образом, чтобы обеспечивалось адекватное отображение тенденции при одновременной фильтрации случайных отклонений.

На основе рассмотренных особенностей дадим определение группы методов прогнозирования, объединенных общим названием «адаптивные». Адаптивными называются методы прогнозирования, позволяющие строить самокорректирующиеся (самонастраивающиеся) экономико-математические модели, которые способны оперативно реагировать на изменение условий путем учета результата прогноза, сделанного на предыдущем шаге, и учета различной информационной ценности уровней ряда.

В связи с отмеченными свойствами адаптивные методы можно рассматривать как эффективное средство краткосрочного прогнозирования показателей, характеризующих развитие российской экономики. Указав основные характерные черты, при сущие рассматриваемому подходу, следует отметить, что деление на адаптивные и неадаптивные модели в то же время носит достаточно условный характер. У истоков адаптивных методов находится модель экспоненциального сглаживания.

Предположим, что временной ряд может быть представлен в виде:

yt =а + ?/,

где а = const; ?t - случайные неавтокоррелированные отклонения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией о2.

Модель экспоненциального сглаживания ряда описывается следующей рекуррентной формулой:

St= ayt +/3St_, (8.1)

где St - значение экспоненциальной средней в момент t; а - параметр сглаживания, а= const; 0 < а<1; /3= 1 -а.

Если последовательно использовать соотношение (8.1), то экспоненциальную среднюю St можно выразить через предшествующие значения уровней временного ряда.

Таки образом, экспоненциальная средняя может быть представлена в виде:

(8.2) 1=0

где п - длина ряда; So - начальное значение экспоненциальной средней.

Из (8.2) видно, что величина St оказывается взвешенной суммой всех членов ряда. Причем веса отдельных уровней ряда убывают по мере их удаления в прошлое соответственно экспоненциальной функции (в зависимости от «возраста» наблюдений). Именно поэтому модель (8.1) получила название модели экспоненциального сглаживания.

Например, пусть а = 0,1. Тогда все текущего наблюдения yt будет равен 0,1; вес предыдущего уровня yt- будет соответствовать а(3 = 0,1 • 0,9 = 0,09; для уровня yt_2 вес составит а/? =

0,081; для уг-з - а/} = 0,0729 и т.д.

При расчете экспоненциальной средней в момент времени t всегда требуется значение экспоненциальной средней в предыдущий момент времени, поэтому на первом шаге должна быть определена некоторая величина So, предшествующая Sr. Часто на практике в качестве начального значения So используется среднее арифметическое значение из всех имеющихся уровней временного ряда или из какой-то их части. Из выражения (8.2) следует, что вес, приписываемый этому значению, уменьшается по экспоненциальной зависимости по мере удаления от первого уровня. Поэтому для длинных временных рядов влияние неудачного выбора So погашается.

Рассмотрим выражение (8.2) при п —> 0. Очевидно, что

  • 0, следовательно,
  • ?5,

i=0

(8.3)

Автор модели Р.Браун показал, что математическое ожидание временного ряда и экспоненциальной средней совпадут, но в то же время дисперсия экспоненциальной средней Z)[SJ будет меньше дисперсии временного ряда (о2).

Представим выражение (8.3) в следующем виде:

S, =аХ^У,-1 = + ?,.,)=а, + ?

i=0 i=0 z=0

Отсюда очевидно, что математическое ожидание M(St) = а, так же как и математическое ожидание самого временного ряда.

Дисперсия экспоненциальной средней ?>[SJ определяется выражением:

Учитывая свойства Eh можно записать:

Ф,] = а2?/?2'<72=-^<72.

i=o 2 — a

Таким образом,

O[.S’,] = -^cr2 (8.4)

1-a

Так как 0 < а<1, то D[5r] меньше дисперсии временного ряда, равной о2.

Из (8.4) видно, что при высоком значении а дисперсия экспоненциальной средней незначительно отличается от дисперсии ряда. С уменьшением а дисперсия экспоненциальной средней сокращается, возрастает ее отличие от дисперсии ряда. Тем самым экспоненциальная средняя начинает играть роль «фильтра», поглощающего колебания временного ряда.

Таким образом, с одной стороны, следует увеличивать вес более свежих наблюдений, что может быть достигнуто повышением а, с другой стороны, для сглаживания случайных отклонений величину а нужно уменьшить. Эти два требования находятся в противоречии. Поиск компромиссного значения параметра сглаживания а с учетом специфики решаемой задачи составляет важную часть исследования.

Пример 8.1. Требуется рассчитать экспоненциальную среднюю для временного ряда курса EURO с 2 октября 2006 г. по 31 октября 2006 г. (табл.8.1). В качестве начального значения экспоненциальной средней взять среднее значение пяти первых уровней. Расчеты провести для трех различных значений параметров адаптации а= 0,2; а= 0,5; а= 0,8.

Сравнить исходный временной ряд и экспоненциально сглаженные временные ряды при различных значениях параметра адаптации. Какой временной ряд носит более гладкий характер.

Таблица 8.1. Экспоненциальные средние для временного ряда курса EURO

Дата

t

Курс EURO

Экспоненциальная средняя

а =0,2

а= 0,5

а= 0,8

2 октября 2006 г.

1

33,9783

34,02206

34,00565

33,98924

3 октября 2006 г.

2

33,9651

34,01067

33,98538

33,96993

4 октября 2006 г.

3

34,1013

34,02879

34,04334

34,07503

5 октября 2006 г.

4

34,0745

34,03794

34,05892

34,07461

6 октября 2006 г.

5

34,0458

34,03951

34,05236

34,05156

7 октября 2006 г.

6

33,99

34,02961

34,02118

34,00231

10 октября 2006 г.

7

33,8757

33,99883

33,94844

33,90102

11 октября 2006 г.

8

33,8828

33,97562

33,91562

33,88644

12 октября 2006 г.

9

33,7945

33,9394

33,85506

33,81289

13 октября 2006 г.

10

33,7963

33,91078

33,82568

33,79962

14 октября 2006 г.

И

33,8393

33,89648

33,83249

33,83136

17 октября 2006 г.

12

33,7247

33,86213

33,77859

33,74603

18 октября 2006 г.

13

33,7588

33,84146

33,7687

33,75625

19 октября 2006 г.

14

33,7983

33,83283

33,7835

33,78989

20 октября 2006 г.

15

33,782

33,82266

33,78275

33,78358

21 октября 2006 г.

16

33,9048

33,83909

33,84377

33,88056

24 октября 2006 г.

17

33,8532

33,84191

33,84849

33,85867

25 октября 2006 г.

18

33,7603

33,82559

33,80439

33,77997

26 октября 2006 г.

19

33,8003

33,82053

33,80235

33,79623

27 октября 2006 г.

20

33,9272

33,84187

33,86477

33,90101

28 октября 2006 г.

21

33,9677

33,86703

33,91624

33,95436

31 октября 2006 г.

22

34,0284

33,89931

33,97232

34,01359

Решение

1 5

Определим S 0 = - ? yt.

5 /=1

Найдем значения экспоненциальной средней при а= 0,2.

Согласно (8.1)

5i = аух + (1 - a)S0; Si = 0,2-33,9783 + 0,8-34,033 = 34,0221;

S2 = ау2 + (1 - a)Si; S2 = 0,2-33,9651 + 0,8-34,0221 = 34,0107 и т.д.

Аналогичны вычисления для а=0,5 и а=0,8. Результаты расчетов экспоненциально сглаженных рядов при различных значениях параметров адаптации представлены в табл.8.1.

На рис.8.1 наглядно проявляется характер сглаженного ряда. При а= 0,2 экспоненциальная средняя носит более гладкий характер, так как в этом случае в наибольшей степени поглощаются случайные колебания временного ряда.

Экспоненциальное сглаживание временного ряда курса EURO при различных значениях параметра адаптации

Рис.8.1. Экспоненциальное сглаживание временного ряда курса EURO при различных значениях параметра адаптации

При использовании экспоненциальной средней для краткосрочного прогнозирования предполагается, что модель ряда имеет вид:

у, =^ + 5, (8.5)

где aj - варьирующий во времени средний уровень ряда; Et -случайные неавтокоррелированные отклонения с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией о2.

Прогнозная модель определяется равенством:

Л (0 = «!.,> (8.6)

где yT(t) - прогноз, сделанный в момент t на тединиц времени

(шагов) вперед; ах t - оценка ayt.

Единственный параметр модели ах t определяется с помощью экспоненциальной средней:

^1,0 ~ *^0 *

Выражение (8.1) можно представить по-другому, перегруппировав члены:

5/ = 5г_1 + й(уг-5м). (8.7)

Величину (yt - St-) можно рассматривать как погрешность прогноза. Тогда новый прогноз 5, получается в результате корректировки предыдущего прогноза с учетом его ошибки. В этом и состоит адаптация модели.

При краткосрочном прогнозировании желательно как можно быстрее отразить изменения ряда и в то же время очистить ряд, отфильтровав случайные колебания. Для этого величине а следует присвоить одно из промежуточных значений в интервале от 0 до 1. Если в результате экспериментальных расчетов получено наилучшее значение а, близкое к 1, то целесообразно проверить правомерность выбора модели данного типа. Р.Браун рекомендовал брать значения а в пределах 0,1-0,3. Во многих работах некритически повторяются эти рекомендации. Однако опыт практических исследований экономических временных рядов свидетельствует о том, что часто эти значения далеки от оптимальных.

Иногда поиск этого значения параметра осуществляется путем перебора на сетке значений. В этом случае в качестве оптимального выбирается то значение а, при котором получена наименьшая дисперсия ошибки. В большинстве эконометрических пакетов, например, «Мезозавр», «SPSS», «STATISTICA» и др., при построении этих моделей предусмотрена удобная для пользователя возможность реализации поиска значений параметров адаптации по предложенной схеме.

Следует отметить, что выбор значения параметра а должен зависеть от периода упреждения прогноза. Для оперативных, конъюнктурных прогнозов в большей степени должна учитываться свежая информация, поэтому значение а следует брать большим. При увеличении срока прогнозирования более поздняя информация, последние данные должны иметь несколько меньший вес, конъюнктурные колебания должны быть сглажены, но прошлые уровни - учтены. Для этих целей значение а следует уменьшить.

Таким образом, экспоненциальное сглаживание является примером самообучающейся модели. К ее безусловным достоинствам относится чрезвычайная простота вычислений, выполняемых итеративно, причем массив прошлой информации уменьшен до единственного значения 5м.

Если для прогнозирования временного ряда, имеющего ярко выраженную линейную тенденцию, использовать подход (8.6), опирающийся на модель экспоненциального сглаживания, то модель, как правило, будет давать смещенные прогнозы, т. е. систематическую ошибку. Для таких временных рядов целесообразно использовать модели линейного роста, также применяющие процедуру экспоненциального сглаживания.

В этих моделях прогноз может быть получен с помощью следующего выражения:

Л(0 = «1,, +a2jt (8.8)

где dit и d2t - текущие оценки коэффициентов; t - время упреждения прогноза.

Наиболее известны три модели данного типа: двухпараметрическая Ч.Хольта, однопараметрическая Р.Брауна и трехпараметрическая Дж.Бокса и Г.Дженкинса, отличающиеся рекуррентными выражениями для пересчета текущих оценок коэффициентов.

В эконометрических пакетах чаще представлена модель Ч.Хольта с возможностью выбора оптимальных параметров адаптации по критерию минимума среднеквадратической ошиб ки путем перебора на сетке возможных значений. Оценки коэффициентов в этой модели определяются с помощью выражений:

«1,г = «1 У, + (1 - «I) ? К,-1 + а2,<-1);

где 0 < СГ1, оь <1.

Понятие экспоненциальной средней можно обобщить в случае экспоненциальных средних более высоких порядков.

Выравнивание р-го порядка:

S^)=aS^-,) + JSS^) (8.9)

является простым экспоненциальным сглаживанием, примененным к результатам сглаживания (р-1)-го порядка.

Если предполагается, что тренд некоторого процесса может быть описан полиномом степени и, то коэффициенты предсказывающего полинома могут быть вычислены через экспоненциальные средние соответствующих порядков.

В случае, когда исследуемый процесс, состоящий из детерминированной и случайной компоненты, описывается полиномом и-го порядка, прогноз на г шагов вперед осуществляется по формуле:

2 п

где ах, а2,..., ап+1 - оценки параметров.

Фундаментальная теорема метода экспоненциального сглаживания и прогнозирования, впервые доказанная Р.Брауном и Р.Майером, говорит о том, что (и + 1) неизвестных коэффициентов полинома и-го порядка ах, а2,..., ап+1 могут быть оценены с помощью линейных комбинаций экспоненциальных средних 5^ где i = 1 ч- (п + 1). Следовательно, задача сводится к вычислению экспоненциальных средних, порядок которых изменяется от 1 до п + 1, а затем к переходу через их линейные комбинации - к определению коэффициентов полинома. На практике обычно используются полиномы не выше второго порядка. В приложении приведены формулы, необходимые для расчета по моделям нулевого, первого и второго порядков.

Важная составная часть современных эконометрических пакетов прикладных программ, ориентированных на решение задач прогнозирования, - адаптивные тренд-сезонные модели. Очевидно, что можно составить множество адаптивных сезонных моделей, перебирая различные комбинации типов тенденций в сочетании с сезонными эффектами аддитивного и мультипликативного вида. Выбор той или иной модели будет продиктован характером динамики исследуемого процесса.

В табл.8.2 представлены две наиболее часто используемые на практике тренд-сезонные модели: модель Хольта-Уинтерса и модель Тейла-Вейджа. Первая из этих моделей представляет собой объединение двухпараметрической модели линейного роста Хольта и сезонной модели Уинтерса. Прогноз по модели Хольта-Уинтерса на г шагов вперед определяется выражением:

Л(0 = «,+®2,<)(>) где ах t и а21 - текущие оценки коэффициентов в модели линейного роста; т - время упреждения прогноза;

ft_i+T- мультипликативный сезонный фактор; I - количество фаз в полном сезонном цикле (для ежемесячных наблюдений I = 12, для квартальных -1 = 4).

В качестве коэффициента сезонности в выражении (8.11) берется его наиболее поздняя оценка, сделанная для аналогичной фазы цикла ft_l+T.

Как видно из табл.8.2 оценки коэффициентов модифицируются по процедуре, аналогичной экспоненциальному сглаживанию. Оптимальные значения для параметров адаптации ОЬ, аз (0 < а, а2, оь> <1) П.Уинтерс предлагал находить экспериментальным путем, перебирая возможные комбинации этих параметров на сетке значений. Критерием сравнения при этом выступает величина среднеквадратической ошибки.

Таблица 8.2. Тренд-сезонные адаптивные модели

Основ-ные формулы

Вид модели

Модель линейного роста с мультипликативной сезонностью

(модель Хольта-Уинтерса)

Модель линейного роста с аддитивной сезонностью (модель Тейла-Вейджа)

Оценка текущих коэффициентов «1.Г >

= + “ ^1 + «2.-1)

Jt-l

’ ^2,t = ^3 («1. «1.-1 )+ 0 ^3 )«2,г-1

«1. = «1 (Л - ?-/ ) + (1" «1)(«1.-1 + «2.-1) ’ ^2,г = «з К, - al t_t) + (1 - а3 )a2t_x

Оценка сезонности

f, =a2-^-+(l-a2)f,_,

St = ^Ayl-aXt)+(]-a2)gt_l

Модель прогноза

уМ = (^,,+^2,Г)/1-1+г

y^ = aXt+a2tT + gt_i+T

Примером другого подхода - с аддитивной сезонностью -может служить модель сезонных явлений с линейным ростом, предложенная Г.Тейлом и С.Вейджем. Практическая значимость этой модели объясняется не только тем, что в экономических временных рядах довольно часто можно встретить этот тип динамики развития. Опыт проведения экспериментальных расчетов свидетельствует о том, что динамика многих экономических показателей может быть описана с помощью модели, сочетающей в себе экспоненциальную тенденцию с мультипликативным сезонным эффектом. Прологарифмировав исходный временной ряд, на практике часто преобразуют экспоненциальную тенденцию в линейную и одновременно мультипликативный сезонный эффект в аддитивный. Таким образом, динамику преобразованного показателя можно моделировать и прогнозировать с помощью модели Г.Тейла и С.Вейджа.

Прогноз на г шагов вперед по этой тренд-сезонной модели, сочетающей линейный рост с аддитивной сезонностью, определяется выражением:

Ут(0 = «м +a2.,r + g,_/+I (812)

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >