Автокорреляция в остатках

Критерий Дарбина-Уотсона

Определение критерия Дарбина-Уотсона

Рассмотрим уравнение регрессии вида

у, =a + Ybj-xJ,+e,, (7-17)

>1

где к - число независимых переменных модели.

Для каждого момента (периода) времени t — 1, п значение компоненты ?t определяется как

?t=yt~yf (7-18)

или

= с7-19)

;=i

Рассматривая последовательность остатков как временной ряд, можно построить график их зависимости от времени. В соответствии с предпосылками МНК остатки ?t должны быть случайными (рис.7.1а). Однако при моделировании временных рядов нередко встречается ситуация, когда остатки содержат тенденцию (рис.7.1б и в) или циклические колебания (рис.7.1г). Это свидетельствует о том, что каждое следующее значение остатков зависит от предшествующих. В этом случае говорят о наличии автокорреляции остатков.

Модели зависимости остатков от времени

Рис.7.1. Модели зависимости остатков от времени

Автокорреляция остатков может быть вызвана несколькими причинами, имеющими различную природу. Во-первых, иногда она связана с исходными данными и вызвана наличием ошибок измерения в значениях результативного признака. Во-вторых, в ряде случаев причину автокорреляции остатков следует искать в формулировке модели. Модель может не включать фактор, оказывающий существенное влияние на результат, влияние которого отражается в остатках, вследствие чего последние могут оказаться автокоррелированными. Очень часто этим фактором является фактор времени t. Кроме того, в качестве таких существенных факторов могут выступать лаговые значения переменных, включенных в модель. Либо модель не учитывает несколько второстепенных факторов, совместное влияние которых на результат значительно ввиду совпадения тенденций их изменения или фаз циклических колебаний.

От истинной автокорреляции остатков следует отличать ситуации, когда причина автокорреляции заключается в неправильной спецификации функциональной формы модели. В этом случае следует изменить форму связи факторных и результативного признаков, а не использовать специальные методы расчета параметров уравнения регрессии при наличии автокорреляции остатков.

Известны два наиболее распространенных метода определения автокорреляции остатков. Первый метод - это построение графика зависимости остатков от времени и визуальное определение наличия или отсутствия автокорреляции. Второй метод использование критерия Дарбина-Уотсона и расчет величины

(7.20)

Таким образом, d - это отношение суммы квадратов разностей последовательных значений остатков к остаточной сумме квадратов по модели регрессии. Практически во всех статистических пакетах прикладных программ значение критерия Дар-бина-Уотсона указывается наряду с коэффициентом детерминации, значениями t- и F-критериев.

Коэффициент автокорреляции остатков первого порядка определяется как

-?,)•(<_,-ё2)

г‘= 'Л (7-21)

V 1=2 1=2

где

п п

Х?, Za-i

ё,=^—; ё2=^---. (7.22)

1 п-1 2 п-1

Поскольку Et - остатки, полученные по уравнению регрессии, параметры которого определены обычным методом наименьших квадратов, в соответствии с предпосылками МНК их сумма и среднее значение равны нулю.

2>,=о

п

(7.23)

Следовательно, без уменьшения общности можно предположить, что

?1=?2=0. (7.24)

Предположим также

  • <7-25)
  • 1=2 1=2

С учетом соотношений (7.24) и (7.25) формула для расчета коэффициента автокорреляции остатков (7.2) преобразуется следующим образом:

Ё

(7.26)

t=2__________________ t=2__________

Ь,):ЁМ ~

V t=2 t=2 t=^

Преобразуем теперь формулу (7.20) расчета критерия Дар-бина-Уотсона:

Ek-2 t^-2-±?,-e,l+±?^

J — 1=2_____________= г=2_________1=2___________г=2

п п

и ж

f=l /=1

С учетом (7.19) имеем:

2-?^-2

d = ^2------!=2-----= 2 .

Е?< '€

1_1=?-----

п

. (7.28)

Е*,2

Сравнив выражения (7.26) и (7.28), нетрудно вывести следующее соотношение между критерием Дарбина-Уотсона и коэффициентом автокорреляции остатков первого порядка:

(7.29)

Таким образом, если в остатках существует полная положительная автокорреляция и r? = 1, то d = 0. Если в остатках есть полная отрицательная автокорреляция, то r? = -1 и, следовательно, d = 4. Если автокорреляция остатков отсутствует, то ге = 0 и d = 2. Значит,

0< J<4.

Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина-Уотсона следующий:

  • 1. Выдвигается гипотеза Но об отсутствии автокорреляции остатков (альтернативные гипотезы Н и //*, состоят соответственно в наличии положительной или отрицательной автокорреляции в остатках);
  • 2. Далее по специальным таблицам определяются критические значения критерия Дарбина-Уотсона du и du для заданного числа наблюдений п, числа независимых переменных модели к и уровня значимости а,
  • 3. По этим значениям числовой промежуток [0;4] разбивают на пять отрезков. Принятие или отклонение каждой из гипотез с вероятностью (1 - а) представлено на рис.7.2.

Есть положительная автокорреляция остатков.

Но отклоняется. С вероятностью Р = (1 -а) принимается Н

Зона неопределенности

Нет оснований отклонять Но (автокорреляция остатков отсуствует)

Зона неопределенности

Есть отрицательная автокорреляция остатков.

Но отклоняется. С вероятностью Р = ( - а) принимается H*i

О cIl du 2 4 - du 4 - du 4

Рис.7.2. Проверка гипотезы о наличии автокорреляции остатков

4. Если фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона попадает в зону неопределенности, то на практике предполагают существование автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу Но.

Пример 7.5 Проверка гипотезы о наличии автокорреляции в остатках.

Проверим гипотезу о наличии автокорреляции в остатках для модели зависимости расходов на конечное потребление от совокупного дохода (см. пример 7.1).

Было получено следующее уравнение регрессии:

у,р =89,9903 + 0,964 ? х, 4- Е,

Исходные данные, значения Ег и результаты промежуточных расчетов представлены в табл.7.8.

Фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона для этой модели составляет: j - 103359,98 _ .

85468

Таблица 7.8. Расчет критерия Дарбина-Уотсона

t

yt

У,'

?t

(?t~?t-i)2

Е2

1

1746,66

1776,02

1801,70

-55,04

3029,08

2

2853,53

2908,00

2892,69

-39,17

15,87

251,87

1534,03

3

3870,68

3983,76

3929,50

-58,82

-19,66

386,38

3460,18

4

5214,38

5324,52

5221,71

-7,33

51,50

2651,84

53,69

5

6710,06

6829,30

6672,00

38,06

45,39

2059,98

1448,54

6

8644,39

8885,61

8653,86

-9,47

-^7,53

2258,76

89,62

7

10780,18

10976,29

10668,84

111,34

120,81

14594,12

12396,46

8

13614,23

13818,98

13408,59

205,64

94,30

8892,77

42288,17

9

16706,07

17289,94

16753,87

^17,80

-253,44

64233,82

2285,13

10

20489,59

21308,58

20627,00

-137,42

-89,61

8030,44

18883,10

Суммы

103359,98

85468,00

По таблицам значений критерия Дарбина-Уотсона (приложение 1) определим для числа наблюдений п = 10, числа независимых переменных модели к' = 1 и уровня значимости а = 0,05 критические значения du = 0,88 и du = 1,32. Фактическое значение d = 1,209 попадает в промежуток от du до 4 - du. Следовательно, нет оснований отклонять гипотезу Но об отсутствии автокорреляции в остатках.

Есть несколько существенных ограничений на применение критерия Дарбина-Уотсона.

  • 1. Во-первых, он неприменим к моделям, включающим в качестве независимых переменных лаговые значения результативного признака, т. е. к моделям авторегрессии. Для тестирования на автокорреляцию остатков моделей авторегрессии используется критерий h Дарбина.
  • 2. Во-вторых, методика расчета и использования критерия Дарбина-Уотсона направлена только на выявление автокорреляции остатков первого порядка. При проверке остатков на автокорреляцию более высоких порядков следует применять другие методы.
  • 3. В-третьих, критерий Дарбина-Уотсона дает достоверные результаты только для больших выборок. В этом смысле результаты примера 1.4 нельзя считать 100% достоверными ввиду малого числа наблюдений п = 10, по которым построена модель регрессии.

Оценивание параметров уравнения регрессии

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >