Методы исключения тенденции

Предположим, что по двум временным рядам xt и yt строится уравнение нелинейной регрессии вида:

yt = a + bxt+ St (7.1)

Наличие тенденции в каждом из этих временных рядов означает, что на зависимую yt и независимую xt переменные модели оказывает воздействие фактор времени, который непосредственно в модели не учтен.

Сущность всех методов исключения тенденции заключается в том, чтобы устранить или зафиксировать воздействие фактора времени на формирование уровней ряда. Основные методы исключения тенденции можно разделить на две группы:

  • - методы, основанные на преобразовании уровней исходного ряда в новые переменные, не содержащие тенденции. Полученные переменные используются далее для анализа взаимо связи изучаемых временных рядов. Эти методы предполагают непосредственное устранение трендовой компоненты Т из каждого уровня временного ряда. Два основных метода в данной группе - это метод последовательных разностей и метод отклонений от трендов;
  • - методы, основанные на изучении взаимосвязи исходных уровней временных рядов при элиминировании воздействия фактора времени на зависимую и независимую переменные модели. В первую очередь - это метод включения в модель регрессии по временным рядам фактора времени.

Рассмотрим подробнее методику применения, преимущества и недостатки каждого из указанных методов.

Метод отклонений от тренда

Пусть имеются два временных ряда xt и yti каждый из которых содержит трендовую компоненту Т и случайную компоненту ?. Аналитическое выравнивание каждого из этих рядов позволяет найти параметры соответствующих уравнений трендов и определить расчетные по тренду уровни xtp и ytp соответственно. Эти расчетные значения можно принять за оценку трендовой компоненты Т каждого ряда. Поэтому влияние тенденции можно устранить путем вычитания расчетных значений уровней ряда из фактических. Эту процедуру проделывают для каждого временного ряда в модели. Дальнейший анализ взаимосвязи рядов проводят с использованием не исходных уровней, а отклонений от тренда xt - xt р и yt - yt р при условии, что последние не содержат тенденции.

Пример 7.1. Пусть имеются данные о расходах на конечное потребление и данные о совокупном доходе. Исходные данные за 10 лет представлены в табл.7.1. Требуется охарактеризовать тесноту и силу связи между временными рядами совокупного дохода xt и расходов на конечное потребление yt.

Корреляционно-регрессионный анализ, проведенный по исходным данным рядов, приводит к следующим результатам:

/ = 89,990 + 0,964 ? х, ; гху = 0,9998; Гху = 0,9999.

Таблица 7.1. Расходы на конечное потребление и совокупный доход (усл.ед.) в РФ.

Год / Показатель

Расходы на конечное потребление, yt, млрд, руб

Совокупный доход, xt, млрд, руб

1998

1746,661

1776,016

1999

2853,528

2908,001

2000

3870,675

3983,757

2001

5214,384

5324,518

2002

6710,064

6829,298

2003

8644,392

8885,610

2004

10780,179

10976,293

2005

13614,231

13818,975

2006

16706,069

17289,938

2007

20489,589

21308,583

Далее необходимо рассчитать коэффициенты автокорреляции первого порядка для каждого уровня ряда: и /1 . Для этого воспользуемся следующей формулой:

(7.2)

±к, _ ±к,_,

где кх = —— и к2 = —---, a kt и kt. - значение фактора в пе-

и-1 п-1

риоде t и t-1.

В нашем случае 2 фактора: расходы на конечное потребление (у) и совокупный доход (х). Следовательно, рассчитаем 2 коэффициента автокорреляции первого порядка: по ряду расходов на конечное потребление = 0,9998 и по ряду совокупного дохода /1 = 0,9997. Предположим, что полученные результаты содержат ложную корреляцию ввиду наличия в каждом из рядов линейной или близкой к линейной тенденции. Применим метод устранения тенденции по отклонениям от тренда. В нашем слу чае, очевидно, необходимо построить нелинейные тренды по каждому из рядов (наиболее подходящая функция имеет вид: у = ао + а • t + а-2-12). Результаты расчета представлены в табл.7.2.

Таблица 7.2. Результаты расчета параметров нелинейных трендов

Показатель

Совокупный доход, xt

Расходы на конечное потребление, yt

«о

1933,1755

1767,0457

Я1

33,0364

116,1090

«1

186,8889

172,9177

Гху

0,999096134

0,999440888

0,998193085

0,998882089

По трендам yf =1767,0457 + 116,109 -t + 172,9177-t2 и xf =1933,1755 + 33,0364-1 + 186,8889-t2 определим расчетные значения и отклонения от трендов Д = у - у? и Д = х -х? (табл.7.3).

Таблица 7.3. Трендовая компонента и ошибки временных рядов

t

yt

X;

у?

xt

=У-У?

Д = x-xf

1

1746,66

1776,02

2056,07

2153,10

-309,41

-377,08

2

2853,53

2908,00

2690,93

2746,80

162,59

161,20

3

3870,68

3983,76

3671,63

3714,28

199,04

269,47

4

5214,38

5324,52

4998,17

5055,54

216,22

268,97

5

6710,06

6829,30

6670,53

6770,58

39,53

58,72

6

8644,39

8885,61

8688,74

8859,39

-44,35

26,22

7

10780,18

10976,29

11052,78

11321,99

-272.60

-345,69

8

13614,23

13818,98

13762,65

14158,36

-148,42

-339,38

9

16706,07

17289,94

16818,36

17368,51

-112,29

-78,57

10

20489,59

21308,58

20219,91

20952,43

269,68

356,15

Проверим полученные отклонения на автокорреляцию. Коэффициенты автокорреляции первого порядка по отклонениям от трендов составляют: r^i = 0,363; rAyi = 0,267.

Следовательно, временные ряды отклонений от трендов можно использовать для получения количественной характеристики тесноты связи исходных временных рядов (расходов на конечное потребление и общего дохода). Коэффициент корреляции по отклонениям от трендов г^хДу = 0,973 (сравните это значение с коэффициентом корреляции по исходным уровням рядов гху = 0,9999). Связь между расходами на конечное потребление и совокупным доходом прямая и тесная.

Результаты построения модели регрессии по отклонениям от трендов:

Показатель

Значение

ао

-5,323Е-13

а

0,7378

Гzfcziv

0,97300

R2

0,9467

Содержательная интерпретация параметров этой модели затруднительна, однако ее можно использовать для прогнозирования. Для этого необходимо следовать алгоритму:

  • 1. Определить трендовое значение факторного признака
  • 2. С помощью одного из методов оценить величину предполагаемого отклонения фактического значения от трендового
  • 3. По уравнению тренда для результативного признака определяют трендовое значение ур;
  • 4. По уравнению регрессии по отклонениям от трендов находят величину отклонения yt — ур;
  • 5. рассчитать точечный прогноз фактического значения yt по формуле:

л = у,"+(>,-?/’)•

Спрогнозируем расходы на конечное потребление для t = 11, следуя вышеописанному алгоритму:

1. хр =1933,1755 + 33,0364 114-186,8889-И2 =24910,14;

  • 2. xt-x^= 21308,58 + 3744,80 - 24910,1318 = 143,2522;
  • 3. yP = 1767,0457 +116,109 • 11 +172,9178 • 112 = 23967,.2878;
  • 4. yt - yP = -5,322* 10’13 + 0,738 • 143,2522 = 105,6784;
  • 5. Точечный прогноз фактического значения:
  • 23967,2878 +105,6784 =24072,9663 д.е.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >