Интерпретация параметров моделей

с распределенным лагом и моделей авторегрессии

Рассмотрим модель с распределенным лагом в ее общем виде в предположении, что максимальная величина лага конечна:

yt = a + bQ-xt + bx ? xt_i+...+bp-xt_p +?t (6.3)

Данная модель говорит о том, что если в некоторый момент времени t происходит изменение независимой переменной х, то это изменение будет влиять на значения переменной у в течение / следующих моментов времени.

Коэффициент регрессии Ьо при переменной xt характеризует среднее абсолютное изменение yt при изменении xt на 1 единицу своего измерения в некоторый фиксированный момент времени t, без учета воздействия лаговых значений фактора х. Этот коэффициент называют краткосрочным мультипликатором.

В момент t + 1 совокупное воздействие факторной переменной xt на результат yt составит (?>о + Ь) условных единиц, в момент t + 2 это воздействие можно охарактеризовать суммой (bo + b + bi) и т.д. Полученные таким образом суммы называют промежуточными мультипликаторами.

С учетом конечной величины лага можно сказать, что изменение переменной xt в момент t на 1 у.е. приведет к общему изменению результата через I моментов времени на (Ьо + Ь + ... + bi) абсолютных единиц.

Введем следующее обозначение:

Ьо + Ьх + ... +bi — b (6.4)

Величину b называют долгосрочным мультипликатором, который показывает абсолютное изменение в долгосрочном периоде t + I результата у под влиянием изменения на 1 ед. фактора х.

Предположим,

P=bjlb, j = 0-.l (6.5)

Назовем полученные величины относительными коэффициентами модели с распределенным лагом. Если все коэффициенты bj имеют одинаковые знаки, то для любого j

  • 0<Д<1и?Д. =1.
  • 7=0

В этом случае относительные коэффициенты Д являются весами для соответствующих коэффициентов bj. Каждый из них измеряет долю общего изменения результативного признака в момент времени t + j.

Зная величины Д с помощью стандартных формул можно определить еще две важные характеристики модели множественной регрессии: величину среднего и медианного лагов. Средний лаг рассчитывается по формуле средней арифметической взвешенной:

<6-6> 7=0

и представляет собой средний период, в течение которого будет происходить изменение результата под воздействием изменения фактора в момент времени t. Небольшая величина среднего лага свидетельствует об относительно быстром реагировании результата на изменение фактора, тогда как высокое его значение говорит о том, что воздействие фактора на результат будет сказываться в течение длительного периода времени. Медианный лаг

Me

- это величина лага, для которого ^Д »0,5- Это тот период 7=0 1

времени, в течение которого с момента времени t будет реализована половина общего воздействия фактора на результат.

Рассмотрим условный пример.

Пример 6.1. По результатам изучения зависимости объемов продаж компании в среднем за месяц от расходов на рекламу была получена следующая модель с распределенным лагом (млн. руб.):

yt = -0,67 + 4,5 • xt + 3,0 • xt- + 1,5- xt-2 + 0,5- xt_i.

В данной модели краткосрочный мультипликатор равен 4,5. Это означает, что увеличение расходов на рекламу на 1 млн. руб. ведет в среднем к росту объема продаж компании на 4,5 млн. руб. в том же периоде. Под влиянием увеличения расходов на рекламу объем продаж компании возрастет в момент времени t + 1 - на 4,5 + 3,0 = 7,5 млн. руб., t + 2 - на 7,5 + 1,5 = 9,0 млн. руб. Наконец, долгосрочный мультипликатор для данной модели составит: b = 4,5 + 3,0 + 1,5 + 0,5 = 9,5.

В долгосрочной перспективе (например, через 3 мес.) увеличение расходов на рекламу на 1 млн. руб. в настоящий момент времени приведет к общему росту объема продаж на 9,5 млн. руб-

Относительные коэффициенты регрессии в этой модели равны:

Д = 4,5/9,5 = 0,474; Д = 3,0/9,5 = 0,316;

Д = 1,5/9,5 = 0,158; Д = 0,5/9,5 = 0,053.

Следовательно, 47,4% общего увеличения объема продаж, вызванного ростом затрат на рекламу, происходит в текущем моменте времени; 31,6% - в момент t + 1; 15,8% - в момент t + 2 и только 5,3% этого увеличения приходится на момент времени г + 3.

Средний лаг в данной модели определяется как

I = 0 • 0,474 +1 • 0,316 + 2 • 0,15 8 + 3 • 0,053 = 0,791 мес.

Небольшая величина лага (менее 1 мес.) еще раз подтверждает, что большая часть эффекта роста затрат на рекламу проявляется сразу же. Медианный лаг в данном примере также составляет чуть более 1 мес.

Изложенные выше приемы анализа параметров модели с распределенным лагом действительны только в предположении, что все коэффициенты при текущем и лаговых значениях исследуемого фактора имеют одинаковые знаки. Это предположение вполне оправданно с экономической точки зрения: воздействие одного и того же фактора на результат должно быть однонаправленным независимо от того, с каким временным лагом измеряется сила или теснота связи между этими признаками. Однако на практике получить статистически значимую модель, параметры которой имели бы одинаковые знаки, особенно при большой величине лага /, чрезвычайно сложно.

Применение обычного МНК к таким моделям в большинстве случаев затруднительно по следующим причинам.

Во-первых, текущие и лаговые значения независимой переменной, как правило, тесно связаны друг с другом. Тем самым оценка параметров модели проводится в условиях высокой мультиколлинеарности факторов.

Во-вторых, при большой величине лага снижается число наблюдений, по которому строится модель, и увеличивается число ее факторных признаков, что ведет к потере числа степеней свободы в модели.

В-третьих, в моделях с распределенным лагом часто возникает проблема автокорреляции остатков. Вышеуказанные обстоятельства приводят к значительной неопределенности относительно оценок параметров модели, снижению их точности и получению неэффективных оценок. Чистое влияние факторов на результат в таких условиях выявить невозможно. Поэтому на практике параметры моделей с распределенным лагом учитывают определенные ограничения на коэффициенты регрессии и условия выбранной структуры лага.

Обратимся теперь к модели авторегрессии. Пусть имеется следующая модель:

yt = a + b0- xt + Ci- yt_i + Et (6.7)

Как и в модели с распределенным лагом, Ьо в этой модели характеризует краткосрочное изменение yt под воздействием .изменения xt на 1 ед. Однако промежуточные и долгосрочный мультипликаторы в моделях авторегрессии несколько иные. К моменту времени t + 1 результат yt изменился под воздействием изменения изучаемого фактора в момент времени t на Ьо единиц, a yt + 1 - под воздействием своего изменения в непосредственно предшествующий момент времени на ci единиц. Таким образом, общее абсолютное изменение результата в момент t + 1 составит Ьо • ci единиц. Аналогично в момент времени t + 2 абсолютное изменение результата составит Ьо - с2 единиц и т. д. Следовательно, долгосрочный мультипликатор в модели авторегрессии можно рассчитать как сумму краткосрочного и промежуточного мультипликаторов:

Ь = Ьо + Ьо • ci + Ьо • с + Ьо • ci3 + ... (6.8)

Учитывая, что практически во все модели авторегрессии вводится так называемое условие стабильности, состоящее в том, что коэффициент регрессии при переменной yt _ i по абсолютной величине меньше единицы |ci| < 1, соотношение (6.8) можно преобразовать следующим образом:

b = b0 • (1 + с. + с,2 + с? 4-...)=-^— (6.9)

U 11 1 / 1

1-с,

где |ci|< 1.

Такая интерпретация коэффициентов модели авторегрессии и расчет долгосрочного мультипликатора основаны на предпосылке о наличии бесконечного лага в воздействии текущего значения зависимой переменной на ее будущие значения.

Пример 6.2. Предположим, по данным о динамике показателей потребления и дохода в регионе была получена модель авторегрессии, описывающая зависимость среднедушевого объема потребления за год (С, млн. руб) от среднедушевого совокупного годового дохода (У, млн. руб) и объема потребления предшествующего года:

Ct =3 + 0,85-r, + 0,10С,_1.

Краткосрочный мультипликатор равен 0,85. В этой модели он представляет собой предельную склонность к потреблению в краткосрочном периоде. Следовательно, увеличение среднедушевого совокупного дохода на 1 млн. руб. приводит к росту объема потребления в тот же год в среднем на 850 тыс. руб. Долгосрочную предельную склонность к потреблению в данной модели можно определить в соответствии с формулой (6.9) как

В долгосрочной перспективе рост среднедушевого совокупного дохода на 1 млн. руб. приведет к росту объема потребления в среднем на 944 тыс. руб. Промежуточные показатели предельной склонности к потреблению можно определить, рассчитав необходимые частные суммы за соответствующие периоды времени. Например, для момента времени t + 1 получим:

(0,85 + 0,85 -0,1) = 0,935.

Это означает, что увеличение среднедушевого совокупного дохода в текущем периоде на 1 млн. руб. ведет к увеличению объема потребления в среднем на 935 тыс. руб. в ближайшем следующем периоде.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >