Случайные ошибки выборочного исследования

Значительно проще ситуация выглядит со случайными погрешностями, поскольку они не только поддаются количественной оценке, но и могут быть уменьшены до разумных пределов за счет увеличения объема выборки.

Смысл и характер случайных погрешностей нетрудно понять, если представить себе, что мы по случайному закону одновременно извлекли из одной и той же генеральной совокупности не одну, а несколько выборок. Здравый смысл убеждает нас в том, что если в каждой из выборок вычислить среднее арифметическое (Хк), то полученные средние не совпадут между собой.

Действительно, средние значения Хк отдельных выборок подвержены случайным отклонениям от генеральной средней х°. Не смотря на то, что точную величину и знак каждой из этих погрешностей заранее предсказать невозможно, ее можно описать с помощью распределения вероятностей, т. е. зависимости между возможными значениями погрешности и вероятностями их появления. Таким образом, для того, чтобы описать случайную погрешность нужно указать два числа - значение погрешности и вероятности.

Для этой цели используют специальную стандартную меру возможного (вероятного) отклонения выборочного параметра от одноименного генерального параметра, которую называют ошибкой репрезентативности. Эта ошибка может быть вычислена для любого параметра на данных самой выборки. Ошибку репрезентативности обычно обозначают буквой т, а подстрочный индекс указывает, к какому параметру она относится.

Например, ошибка репрезентативности среднего арифметического обозначается ±т* и вычисляется по формуле

где - ошибка репрезентативности,

— среднее квадратическое отклонение изучаемого признака, п - объем выборки.

Из формулы (1) видно, что случайные отклонения выборочной средней от генеральной могут быть как положительными, так и отрицательными, кроме того, нетрудно заметить, что т- зависит от о (т. е. чем больше варьирует признак, тем ошибка больше) и от объема выборки п (чем больше п, тем меньше ошибка).

В связи с тем, что исследователь не может произвольно уменьшать о (это было бы нарушением основного принципа комплектования выборки - случайного отбора), то у него есть единственный путь уменьшить т- и повысить точность оценки генеральной средней - это увеличить объем выборки.

Заметим, что величина ошибки обратно пропорциональна Jn, т. е. для уменьшения ошибки в А: раз, выборку увеличить в к раза.

Поскольку эта ошибка носит случайный характер, она не является точным значением отклонения конкретной выборочной средней от генеральной средней, а служит только для вероятностной оценки возможного отклонения. Конкретная ошибка может быть как меньше, так и значительно больше, чем mJ

Не смотря на то, что для случайной погрешности заранее точно предсказать ее величину и знак в каждой отдельной выборке, взятой из одной и той же генеральной совокупности невозможно, это не означает, что случайные погрешности повторных измерений «ведут» себя совершенно беспорядочным, хаотическим образом. Зависимость величины т- от доверительной вероятности Р и объема выборки п исследовал английский ученый Уильям Госсет (Стьюдент), в честь которого она была названа ^-распределением Стьюдента. Из этого распределения следует, что с заданной доверительной вероятностью Р среднее значение отдельной выборки Xi? выраженное в масштабе ошибки репрезентативности, может отклониться от генеральной средней Хона величину, не превышающую ±mxts. Коэффициент ^.представляет собой нормированное отклонение

При постоянном значении вероятности Р, значение ts тем больше, чем меньше и. При одном и том же значении п большим значениям Р соответствуют большие значения ts.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >