Оптимизационный расчёт в матричной форме

Общая схема оптимизационного расчёта на основе прогностической информации остаётся неизменной, и в зависимости от принятого критерия он производится с помощью уравнений (3.15-3.17). Отличия лишь в том, что функция f(y) должна быть заменена условным распределением вероятностей (р(у/у ).

При выборе критерия Байеса, т.е. стратегии средних статистических потерь, при решении ?_ки прогнозе , В-У^к составляют:

у max

Ry',(_t= fR(y,?_t)^(y/y')dy. (3.19)

;pmin

В матричной форме расчёт средних потерь Ву?_к аналогичен (3.19) и выполняется по уравнению:

Ry'^K =^Р(^±Ьу)у№у,1_к. (3.20)

7=1

Как видно, для расчёта необходимо иметь (составить) матрицу потерь и условных вероятностей, т.е. R = ||л_у_у.?_А. | и P = ||P((y,.±Ay)/z'||-

Выражение функции потерь в матричной форме является дискретным, поэтому точный расчёт оптимума , т.е. наивыгоднейшего решения на основе i-ro выпуска прогнозов у¹, невозможен. Оптимальным признаётся решение 1_к при котором вычисленные по формуле (3.20) потери оказываются наименьшими:

Ry_it_i(0 = VMn.Ry[?_k . (3.21)

Оптимальное решение ₀, с учётом критерия минимальной дисперсии потерь, соответствует выполнению равенства:

Ду, Со = тт.Ду^_к, (3.22)

<к>

где

Ду{ С (3-²³)

7=1

Следует иметь в виду, что в общем случае оптимальные решения €_/0,?*₀ не равны прогнозу у¹. . Стратегия полного доверия прогнозу, т.е. L = у , оказывается неоптимальной, если функции потерь R(y,€) носят асимметричный характер.

Для выборки общей стратегии хозяйствования на основе прогнозов У и выявленой функции потерь 7?(у,?) полезно составление матрицы стратегий на основе матрицы потерь и условных вероятностей.

Предположим, оптимизационные расчёты показали, что

^io ⁼ y'i ~ 2 Ду (при разбивке диапазона вариации величин У, у¹ и L на одинаковые интервалы, т.е. Ду = Ay^z = Д^). Так, например режим работы ГЭС для страховки удобнее назначить, исходя из значения ?_/0, меньшего, чем предусмотрено прогнозом у. .

При этом У=?, У2⁼^2’ Уз⁼^з- Матрица стратегий будет иметь вид (таблица 3.5):

Таблица 3.5

Матрица стратегий (средних потерь Ry^_k)

Наименьшие значения потерь - в каждой строке таблицы и являются неизбежными потерями. В данном случае это потери Rio , R20, R30.

В качестве основного гидрологического материала оптимизационного расчёта является матрица безусловных (многолетних) вероятностей Р = ± Лу)|| (таблица 3.6).

Таблица 3.6

Матрица безусловных вероятностей Р = ||Р(у_у. ± Ду)||, ^ПР^И разбиении диапазона вариации величины У на d = 5 интервалов

Подсчёт средних (в вероятностном смысле) потерь производится на основе информации о функции потерь (матрица потерь) и многолетних вероятностях попадания величины У в тот или иной интервал (таблица 3.6).

Предположим у₃ = у, тогда решение ?₂⁼У’ ^а средние статистические потери Л(^₂)равны:

• Ж) = ^Р(у, ± МЩ, = Л'я12 + р2я22 + Л'й32 + • (324)
• 7=1

Аналогично вычисляются потери и для решений R(?_x), Л(7,)иЛ(7₄).

Оптимальное решение принимается, исходя из равенства:

7?(/ о) — min /?(/ _Л ), и лишь в частном случае,

<к>

при условии симметричности функции потерь 7?(jy,€), средние потери сориентированные на норму, могут быть мини

мальными.

Таким образом, потери 7?(^₀) характеризуют наименьший среднемноголетний уровень ущерба в результате ошибок решения L.

Рассмотрим простой пример: пусть Hi - опасный уровень воды; Н₂ - уровень воды, не отражающийся на производстве (не опасный): Н[ и Н₂- соответственно прогноз соответствующих уровней.

Тогда матрица потерь будет иметь вид:

Потери производителя складываются из следующих условий:

Ri i _ неблагоприятный уровень предсказывался прогнозом и осуществился. С помощью мер, предпринятых на производстве, ущерб удалось уменьшить;

R12 - прогноз опасного уровня воды не оправдался, принятые меры и затраты по защите производства оказались напрасными.

R₂i - прогноз неопасного уровня не оправдался. Хозяйство потерпело максимальный ущерб.

R22- прогноз неопасного уровня оправдался R₂2= 0.

Далее строится матрица условных вероятностей на основании матрицы сопряжённости.

²11²12

Д1^₂₂

Pjj вероятность осуществления Hj при прогнозе Н. опреде-

D ' У ляется, исходя из выражения: Р. = —, где - число случаев

Чо

осуществления Н. при прогнозе Н.; ц_/0 - суммы, представляющие собой повторяемость РР .

Потери потребителя при всех возможных стратегиях и прогнозах будут выражаться элементами матрицы стратегий (средних потерь), полученной при умножении матрицы потерь (R) и условных вероятностей (Р):

R = RP =

^11^12 | 1^11-^12

.^21^22 / [^21^22

Диагональные члены этой матрицы R, А12 показывают потери потребителя при стратегии полного доверия прогнозу, два других - потери потребителя, пренебрегающего прогнозами. Минимальное значение элемента в каждой строке матрицы определяет наивыгоднейшую стратегию. При хорошей методике прогнозов это будут элементы, находящиеся на главной диагонали.

Если потребитель применяет стратегию доверия прогнозу, то при прогнозе Н[ математическое ожидание его потерь будет:

Ли = Р„Й₁₁ + Р₁₂Я₁₂,

а при прогнозе Н₂

R22 = ^21^21 ⁺ ^22^22 ’ ЗД^есь ^22 ⁼ поэтому общая сумма потерь при этой стратегии: R = P_nR_n + Р₁₂Л₁₂ + ^21^21 •

Рассмотрим ещё пример выбора стратегии хозяйствования.

Задача заключается в снижении затрат на содержание оросительной системы. Водозабор осуществляется из реки Сырдарьи и расходуется на орошение сельскохозяйственных культур в июне. Потребитель использует прогнозы средних месячных расходов воды в пункте - пос. Ак-Джар.

При этом все рассматриваемые расходы воды делятся по величинам на три группы:

Ф1 -малые расходы воды;

Ф₂ - средние расходы воды;

Ф₃ - большие расходы воды.

Соответственно прогнозы среднего месячного стока в июне также ориентированы на данные по водности группы, т.е. П_ь П₂, П₃.

Для выработки стратегии хозяйствования рассмотрено 30 случаев. По результатам наблюдений составлена таблица оправдываемое™ прогнозов.

Таблица сопряжённости прогнозов среднего расхода воды в Сырдарье в июне (пост Ак - Джар) имеет следующий вид:

На основании результатов данной таблицы матрица условных вероятностей Р (Ф/П,) равна: р =<

• 0,7 0,3 0,3 0,5 0,0 0,2
• 0,0
• 0,2
• 0,8

Известно, что в годы со средней водностью никаких убытков от недостатка или избытка воды нет, т.е. затраты потребителя на содержание оросительной сети равны нулю.

Исходя из этого, платёжная матрица, выраженная в условных единицах, приблизительно имеет следующие значения:

• 10 2 5
• 15 0 3
• 20 10 1

Первый столбец матрицы представляет убытки при фактически малой водности и стратегиях:

• - на низкую водность (убыток 10 условных единиц);
• - на среднюю водность (убыток 15 условных единиц);
• - на высокую водность (убыток 20 условных единиц).

Второй и третий столбец показывают убытки при средней фактической и высокой водности при тех же стратегиях.

Для выбора стратегии хозяйствования, т.е. наиболее выгодного использования потенциала оросительной системы, составим матрицу стратегий IRI

• 7,6
• 5,0
• 4,4
• 10,5 17
• 5,1 11
• 2,4 2,8

Исходя из наименьших величин элементов матрицы стратегий видно, что при прогнозе П₂ - необходимо ориентироваться на стратегию Л 21, т.е. ориентироваться на малую водность, а при прогнозе П₃ на - R32 — среднюю водность реки.

Вопросы для самоконтроля:

• 1. Что понимается под оптимизацией хозяйственных решений?
• 2. Назовите критерии оптимизации хозяйственных решений и целесообразность их использования.
• 3. В чём заключается принцип минимизации средних статистических потерь.
• 4. В чём заключается принцип минимизации дисперсии потерь?
• 5. Что собой представляет матрица потерь?
• 6. Что собой представляют матрицы сопряжённости и условных вероятностей?
• 7. Как получить матрицу стратегий хозяйствования и как её использовать?