Минимизация средних потерь

Применения критерия (Л(? 0)) минимальных средних статистических потерь предполагает вычисление средних (в вероятностном смысле) потерь при всех неабсурдных решениях ? к.

Расчёт таких потерь аналогичен вычислению нормы гидрологической величины:

у max

У= yf(y)dy, (3.13)

у min

где f(y) - функция распределения вероятностей реализации различных значений у.

В частном случае нормального распределения гидрологической величины у, функция f (у) имеет вид:

/00 =

1 .—--е

л/2я сгу

(3-14)

Средние статистические потери R(? к) определяются по той же схеме (3.13) с заменой значений (у) конкретными реализациями потерь при решении ? к и осуществлении всевозможных значений (у) от ymin до утах:

у max

ЯЩ) = ^y^k)f(y)dy. (3.15)

у min

Величина средних (в вероятностном смысле) потерь Л(?), в свою очередь, является функцией и изменяется с изменением решения L. Наименьшие значения средние потери R(?к) принимают при оптимальном решении ? к = Решение называется оптимальным, если в условиях множества возможных результатов оно приводит к наименьшим средним потерям.

При оптимальном решении производная функции А(/) равна нулю:

Стратегия Байеса находит широкое применение. Например, в гидрологических расчётах графический способ выявления гидрологических зависимостей основан на минимизации сумм отклонений точек эмпирических значений справа и слева от линии связи. Каждое такое отклонение в данном случае представляет собою своеобразные потери, а именно - несоответствие принятой закономерности и результата наблюдений или расчётов. Решением а , например, при линейной зависимости у = ах+ + в, является угол наклона линии связи, проведённой через точку у = у , х — х. При оптимальном угле наклона а = а0 суммы отклонений обоих знаков минимальные, а при достаточно большой выборке данных равны друг другу по абсолютному значению, а среднее абсолютное отклонение

R(a0) = min/?(«).

Критерий минимальных средних потерь применяется в случаях, когда требуются решения, зависящие от обычной какой-либо массовой деятельности, причём даже наибольшие неблагоприятные результаты такой деятельности не слишком существенно влияют на общий итог.

При выборе хозяйственной стратегии, основанной на оценке минимальной дисперсии потерь, используется известный метод наименьших квадратов, который позволяет выявлять закономерности с большей осторожностью, чем при байесовом подходе. Минимизации подвергаются, прежде всего, наиболее существенные отклонения от линии связи.

Оптимальным уравнением в рамках имеющейся выборки признаётся зависимость, приводящая к минимуму средней квадратической погрешности, а значит - к выполнению равенства (З.Н).

В общем случае дисперсия потерь при решении ?к вычисляется по формуле:

ушах

Д(^) = (3.17)

у min

а поиск оптимального решения состоит в определении такого значения ?0, при котором производная функции Д(^) равна нулю:

Принятие стратегии на основании критерия минимальной вероятности наиболее крупных потерь в практике водопользования используется сравнительно редко, относясь к случаю оптимизации очень ответственных решений.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >