Метод практической реализации путем создания кусочно- 51 однородных конструкций. Примеры

Создание конструкций, материал которых имеет непрерывно изменяющиеся физико-механические характеристики, чрезвычайно сложно. Попытка создания такой конструкции из полимера ЭДТ-1, наполненного стеклянным порошком разных фракций, была описана в работе [40]. Однако, при центрифугировании заготовки в процессе отверждения полимера получился цилиндр, состоящий из двух слоев. При этом внутренний слой состоял практически из чистой смолы, а внешний - из наполненного полимера. Возможно, такие попытки могут быть продолжены при использовании других материалов и другой технологии получения конструкций с непрерывной неоднородностью механических характеристик материала. В данной работе предлагается требуемые непре рывные зависимости аппроксимировать с помощью кусочно-постоянных функций. Это приводит к решению задач теории упругости для многослойных тел. Ниже представлен расчет кусочно-однородного цилиндра и сферы. Механические характеристики каждого слоя назначаются исходя из решения задачи о равнопрочной конструкции. Полученные таким образом конструкции можно назвать близкими к равнопрочным.

Решение задачи для цилиндра

Рассмотрим решение задачи об аппроксимации непрерывной функции

модуля упругости бетона, определенной в п. 3.2.3, на примере

трехслойного цилиндра. Стенку цилиндра разбиваем на три равные части.

Прежде чем получить решение для каждого слоя и для цилиндра в целом,

остановимся на способе выбора постоянных значений модуля упругости в

каждом слое (мы ограничиваемся назначением только модуля упругости,

поскольку он связан однозначной зависимостью (3.7) с расчетным сопро-

Рис. 3.10 Зависимости ф(г) в цилиндре для различных отношений р_а/р_ь

тивлением). На рис. 3.10 приведены зависимости ф(г), полученные на основании численного решения уравнения (3.14). Из этих зависимостей можно найти значения параметра ф, соответствующие границам слоев внутри тела конструкции. Подстановка най-денных значений ф в (3.12) позволяет определить величину модуля упругости. Значения R_b однозначно связаны с Е равенством (3.7).

Таблица 3.4

Физико-механические характеристики материала трехслойного толстостенного цилиндра из полимербетона

Значения Е и R_h внутри каждого слоя задаются по его левой границе, так как наибольшее значение напряжения, определяющего прочность материала по критерию П.П.Баландина, достигается на этой границе слоя. Соответствующие значения механических характеристик слоев приведены в табл. 3.4.

Для каждого однородного слоя известно решение задачи Ляме для плоского деформированного состояния [13], содержащее две константы. Считая, что на границах слоев выполняются условия идеального контакта (равенство напряжений <5_Г и радиальных перемещений и) для определения шести констант из граничных условий получается система алгебраических уравнений:

ri

₂

^г2

• 1-v,
• 2 ^0 ^1^Г2

^С2+с -+ с₃ -

• 4 •
• 2 ^+С5>
• 1±4С₂₊1^С₃;

Е_гг} Е₂

• 1-v
• ?₂
• 4 +С5 =-—;
• 1 1.5
• ? ₌_1±Л_С4+1гЛ_С5;
• ?_Л² ?₃
• (3.26)

В системе (3.26) константы С_о и С относятся к первому слою, С₂ и С₃ - ко второму, а С₄ и С₅ - к третьему. Эта система описывает цилиндр, нагруженный относительными нагрузками р_а=1 и р_ь =1/1,5 . Граничные условия в напряжениях представлены первым и третьим уравнением, а условия в перемещениях - вторым и четвертым. Пятое уравнение описывает граничное условие на внешней, а шестое - на внутренней поверхности цилиндра. В системе (3.26) используются обозначения: Vj = v (1 - v); г,- радиусы границ слоев; Д - определяются по табл. 3.4. Для сопоставления полученного ниже решения с результатами, приведенными в п. 3.2.3, здесь также считается v = 0,5.

Действующая нагрузка на цилиндр определяется выражением

/ С 0 ) Q G)

⁽³-²⁷⁾

где R'_b - прочность z-ro слоя, определяемая по таблице 3.4, а

4° = % + С,, ₊ С_и_,. (3.27,а)

^ri ^ri

Здесь r_t = a + (b-afe-i)/n , п - число слоев в цилиндре. Формула

• (3.27) выведена по аналогии с (3.24). При этом получаемые по формуле
• (3.27) значения р$ при z = l, z = 2 и z=3 будут разными. Как показывают расчеты, наименьшее значение давления р$ получается при расчете третьего слоя р® - 391,5 МПа. Таким образом, величина давления р_а на кусочно-однородный цилиндр принимается равной р®, поскольку при р_а = р^ или р_а - р$ в третьем слое наибольшее эквивалентное напряжение превышает расчетное сопротивление третьего слоя.

Сравним полученную нагрузку на кусочно-однородный цилиндр с нагрузкой для однородной конструкции. Используя равенство (3.24), можно найти величину внутреннего давления: p°_a^dn =213,5 МПа. Сопоставляя это давление с приведенным выше для кусочно-однородного цилиндра (р_а = р® = 391,5), получим значение коэффициента эффективности $ = p⁽a^}/p°^dn =1,83.

Аналогичным образом можно решить задачу и для цилиндров, состоящих из четырех и пяти слоёв. Ниже приводятся только лишь конечные результаты расчетов.

Четырехслойный цилиндр

Таблица 3.5 Физико-механические характеристики материала четырехслойного толстостенного цилиндра из полимербетона

Из (3.27) находим наименьшее давление р_а = pfi =425 МПа. Соответствующее давление для однородного цилиндра не зависит от количества слоев и было приведено выше (p°_a^dn = 213,5 МПа). Коэффициент эффективности работы четырехслойного кусочно-однородного цилиндра |3 = ^⁴⁾/^" = 1,99.

Пятислойный цилиндр

Таблица 3.6

Физико-механические характеристики материала пятислойного толстостенного цилиндра из полимербетона

Наименьшее давление р_а = р$ = 446,2 МПа. Коэффициент эффективности работы пятислойного кусочно-однородного цилиндра fi = p?/pf"=2,09.

На рис.3.10 и 3.11 показаны эпюры напряжений для трех рассмотренных многослойных цилиндров и графики эквивалентных напряжений.

Анализируя напряженное состояние кусочно-однородных цилиндров

Рис.3.10. Эпюры напряжений в кусочно-однородном полимербетонном цилиндре, разбитом на три (а), четыре (б) и пять (в) слоев

можно сделать следующие выводы. Коэффициент эффективности работы цилиндров зависит от того, на сколько слоев происходит разбиение стенки цилиндра. Чем слоев больше, тем выше этот коэффициент. При этом величина этого коэффициента всегда меньше, чем у цилиндра, имеющего непрерывную неоднородность. Очевидно, что увеличение количества слоев приближает кусочно-однородный цилиндр к цилиндру с непрерывной неоднородностью.

Рис.3.11. Эпюры эквивалентных напряжений в кусочно-однородном полимербетонном цилиндре, разбитом на три (а), четыре (б) и пять (в) слоев:

• 1 - расчетное сопротивление в равнопрочном цилиндре, имеющем непрерывную неоднородность;
• 2 - эквивалентные напряжения в цилиндре, имеющем кусочно-постоянную неоднородность.