Приближённое отыскание энергетического спектра в случае сильной связи

Обратимся теперь к более полному исследованию трансцендентного уравнения

72 - к2

cos(NA) — ch(7t) cos(fcs) -I--—r— sh(7i) sin(fcs)

K>

модели Кронига - Пенни для энергий Е её стационарных состояний в случае сильной, но не бесконечной связи, т. е. когда Vo +оо, но Vo + сю.

В этом трансцендентном уравнении

к = ^/2тЁ, 7 = |V2m(V0-B),

и константа распространения К равна одному из N дискретных значений, принадлежащих интервалу от К = — 7г/Л до К = тг/Л, причём разность соседних дискретных значений К равна 2тг/L, где L — очень большая длина нашего одномерного твёрдого тела.

Выше мы исследовали энергетический спектр Е нашей модели Кро-нига-Пенни в случае бесконечно сильной связи (т. е. когда Vo = +00).

Предположим теперь, что высоты потенциальных барьеров Vg, хотя и большие, но конечные.

В таком случае решение нашего трансцендентного уравнения следует искать в виде

Е = Е^ + ДЕ,

где Еп = {б2к2/2ms2) п2 (п = 1,2,...) — какой-то один из уровней энергии при Vg — +оо, а ДЕ = /Екп малая поправка.

Соответственно положим, что к — кп + ДА:, где кп — (тг/s) п и ДА: = ДА:кп — малая поправка, причём

ЫО) _ кп _ Л22 2

п 2т 2ms2

Так как Е = б2 к2/2т, то

dE _

dk т '

АЕ = ^к/к = ^V2mE&k,

а следовательно,

ДЕ = h

П у ZU/

Зная ДЕ, по этим формулам можно найти ДА:, и наоборот.

При 14) —> +ос коэффициент при втором слагаемом в правой части рассматриваемого трансцендентного уравнения модели Кронига-Пенни обращается в бесконечность, хотя коэффициенты при первом слагаемом и слагаемом в левой части остаются конечными. Поэтому в правой части трансцендентного уравнения оставим только второе слагаемое, причём коэффициент при нём приближённо заменим на величину

  • 72 ~ к2 ~ 7 л/Уо
  • 2~

Кроме того, приближённо положим, что

sin[(A:n + ДА:).§] = sm(kns) + cos(A:ns) ДА: s — (—1)Г1ДА:$,

так как sin(A:ns) — sin(7rn) — 0 и cos(A:ns) — cos(7rn) — (—l)n.

Таким образом, из трансцендентного уравнения модели Кронига-Пенни при Vo —* +оо получаем следующее приближённое уравнение для нахождения поправок АЕ к энергиям стационарных состояний:

COS(KA) = i e<1/4V2mV0t/_1ps 1 ГЦЕ&Е.

Следовательно, для поправки АЕ к энергии стационарного состояния Еп^ получаем формулу

Ot г(()) _____

ДЕ = ДЕКп = (-l)n п COS(K^).

s/2mVQ

Как видим, поправка зависит от значения константы распространения К, причём при К и при — К она одинакова. Таким образом, имеем N /2 двукратно вырожденных уровней энергии, а следовательно, при большой, но не бесконечно большой высоте Vb потенциальных барьеров происходит расщепление любого уровня Еп на N/2 отдельных двукратно вырожденных уровней, так что с учётом кратности вырождения имеем 2 • N/2 — N стационарных состояний электрона без учёта спина, энергии которых при Vb —> +оо сливаются и становятся равными N-кратно вырожденному уров-

НЮ -L^n

Величина расщепления уровня пропорциональна коэффициенту прозрачности потенциального барьера высоты Vb между соседними ямами, так как при Vb —> +оо

e-(l/h)y/2m(V0-E) t e-(l/?i)x/2mVo t

где t — ширина потенциального барьера.

Зависимость ДЕ = АЕкп от величины константы К характеризуется функцией (—1)п соз(ЕА), график которой показан на приводимых выше рисунках в случаях чётного и нечётного значений п.

-1

Таким образом, при большом Vo —> +оо энергетический спектр модели Кронига-Пенни выглядит, как показано на приводимом ниже рисунке, на котором изображены два самых низких интервала спектра (при п = 1 и при п = 2). Полный спектр имеет бесконечное число таких энергетических интервалов.

Характерной особенностью найденного спектра является его «зонная структура».

Это означает, что допустимые значения энергий стационарных состояний характеризуются интервалами энергий

при п = 1. п = 2 и т.д., плотно занятыми энергетическими уровнями, причём в каждом интервале имеется ровно N энергетических стационарных состояний электрона (без учёта спина электрона), где N — число элементарных ячеек в модели Кронига-Пенни одномерного модельного твёрдого тела.

Такие «квазинепрерывные» интервалы, составленные из дискретных уровней, называются «разрешёнными зонами», или просто «зонами». Между ними располагаются интервалы энергий, которые невозможны для стационарных состояний электрона. Это «запрещённые зоны». На нашем рисунке показана самая низкая запрещённая зона, расположенная между первой и второй разрешёнными зонами (при п = 1 и п = 2). Самая верхняя заполненная электронами зона называется «валентной зоной», а первая энергетическая зона, полностью свободная от электронов, называется «зоной проводимости». (Здесь мы говорим только о случае нулевой температуры Т = 0.)

Попавшие в зону проводимости из валентной зоны электроны в результате тепловых флуктуаций, скажем при комнатной температуре Т = 300 К, становятся носителями электрического тока.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >