Исследование энергетического спектра в пределе нулевой связи

Рассмотрим теперь обратный предельный случай при Vo — 0, когда барьеры между ямами отсутствуют, как показано на приведённом ниже ри сунке, т. е. когда нет связи электрона с отдельными ямами. Имеем теперь одну широкую, ширины L, потенциальную яму, которая занимает всё одномерное твёрдое тело длины L.

Исследование трансцендентного уравнения для различных значений константы распространения

Теперь

7 = ~/—2тЕ = ±T-v/2mEl = ±ik, 7г П

так как величина 7 чисто мнимая, и её модуль равен к. Если ввести L = NA

сигнатуру б = ±1, то можно на

писать формулу __—S-»| f U-__

0 —Л-^1 L

у = г ек, к = V2mE.

При То = 0 в рассматриваемом трансцендентном уравнении модели Кронига-Пенни, таким образом, можно положить, что

ch (7<) = ch.(iekt) =

ekt | g—i ekt

~1>

= cos( ekt) = cos(fci),

sh(7i) = sh(i ekt) =

qI ekt _ Q—i ekt

------------- — 'ism(ekt) — iesin(kt),

а поэтому оно примет вид

cos(TTA) = cos(fcs) cos(fct) +

— k2 - k2 2k2ie

sin(ks) ie sinfkt)

= cos(kt) cos(fcs) — sin(fcs) sin(fci) — cos[/c(s + ?)] = cos(fcA),

т. e. трансцендентное уравнение модели Кронига-Пенни при То = 0 сводится к тригонометрическому уравнению

cos(JCA) = cos(fcA),

в котором значение константы распространения К фиксировано на одном из своих значений: К = (2тг/Т) g, д = —N/2 + 1. ..., N/2 — 1, N/2 (N — чётное).

Решения приведённого тригонометрического уравнения не зависят от знака константы К, так как константа К входит только в аргумент косинуса cos(/CA) и так как cos(KA) — cos(|K|A). Поэтому достаточно решить тригонометрическое уравнение

cos(A;A) = cos(|K|A),

в которое входит модуль |Х|, относительно волнового числа к = jr V2mE, а фактически — относительно энергии Е. Нужно найти действительные положительные корни к этого уравнения при заданном значении величины |К|А. Так как |К| 2тг/Л • N/2 = тг/А, то 0 |К|А тг.

На рисунке представлен график функции cos(fcA) в зависимости от кА, т. е. график левой части приведённого тригонометрического уравнения, причём 0 С кА < +эо для отыскиваемых корней. На оси абсцисс отмечено значение величины |АГ|А (0 |/<|А тг). На рисунке изоб

ражена также горизонтальная прямая с ординатой, равной cos(|K|A), являющаяся графиком правой части рассматриваемого тригонометрического уравнения.

Отмечены точки пересечения этой прямой с графиком левой части при кА 0. Они дают корни рассматриваемого тригонометрического уравнения. Корни эти могут быть двух типов, и для удобства последующих рас-суждений они обозначены по-разному (чёрными и белыми кружками).

Как видим, корни нашего тригонометрического уравнения можно представить формулами

КА + тг (п - 1) при

n= 1, 3, 5, п = 2, 4, 6, ...;

— |Х|А-|-тт при

здесь индекс п нумерует отдельные корни.

Используя функцию Е = h2k2/2m для значений энергии Е^п при заданном К, получим следующую формулу:

при п = 1, 3, 5, ...,

при п = 2, 4, 6, ....

Проиллюстрируем теперь выведенные формулы другими графиками. На приводимом рисунке мы изобразили ось К и на ней вертикальными короткими жирными чёрточками возможные значения константы распространения К.

2тг

L

Значения константы К даются формулой К — (2tt/L) д, в которой д — = —N/2 +1, .... Л'/2 - 1, N/2, N - чётное. Так как тг/Л = (2tt/L).(7V/2), то величина тг/Л является целым кратным величины 2тг/7>. Допустимые значения константы К поэтому кратны величине 2тг/Л и располагаются от точки — тг/Л (исключая эту точку) до точки тг/Л (включая эту точку). Всего имеем N значений константы К. Большой жирной точкой отмечено некоторое конкретное значение константы распространения К.

На следующем рисунке слева мы приводим график многозначной функции Е$п при различных п, заданной на отрезке —тг/Л < К < тг/Л, на котором допустимые значения энергии ЕКп при заданном значении константы распространения К обозначены жирными точками. Цифры на рисунке обозначают значения числа п, которые нумеруют ветви многозначной функции Е$п.

График функции Е^п можно получить из графика параболы Е(К) = = Л2 К2/2т, изображённой на правом рисунке, следующим образом. Надо взять график этой параболы и зеркально отразить верхние части обеих её ветвей в вертикальных прямых К = ±тг/Л, как бы свёртывая параболу внутрь, как это проиллюстрировано на рисунке. Затем надо произвести подобную операцию с полученной свёрнутой параболой и т. д. Всё это проиллюстрировано на правом рисунке.

Всё время надо отражать верхние части ветвей получаемой кривой в вертикальных прямых К — ±тг/А. Так мы построим кривую для графика многозначной функции Е — Е$п из графика функции Е(К) = Ti?K2/2m. Исследование трансцендентного уравнения модели Кронига-Пенни при Vq — 0 для различных значений проекции волнового вектора кх

Полученную формулу для корней трансцендентного уравнения при Vo = 0 можно представить по-другому. В верхней строке приведённой формулы для кА положим п = 2р + 1, считая, что р = 0, 1, 2, а в нижней положим п = — 2р, где р — —1, —2, .... Тогда обе строки рассматриваемой формулы можно записать одной формулой:

к = |, кх = |А | + р, р = 0, ±1, ±2, ...;

здесь мы используем величину кх, которую назовём «проекцией волнового вектора на ось ж»; она принимает положительные, отрицательные и равное нулю действительные значения.

Например, корень кА = | К |Л+7г при п — 2 теперь записывается в виде к = |А:Ж|, кх = |7<| — 2тг/Л прир = —1. Действительно, к = ||Л’| — 2тг/А| = = 27г/Л- |К|, &Л = -|К|Л + 2тг.

Если К положительное, т. е. К = |АГ|, то

к — |fcx|, кх — К + — р, р — 0, ±1, ±2, ...; если К отрицательное, то К = — |/С|, и поэтому

к = 1^1, кх = -К+^-р, р = 0, ±1, ±2, ....

Заменим во второй формуле кх на — кх и одновременно р на — р. Тогда вторая формула (для отрицательного К = — |А'|) примет вид

к = |Атж|, кх — К + р, р — 0, ±1, ±2.....

т. е. в точности вид первой формулы (для положительного К = |А7|).

Таким образом, и при К = К, и при К = — |А”| имеем одну и ту же формулу:

к = кх = К + р, р = 0, ±1, ±2, ....

Формулу для энергий Е стационарных состояний легко получить из выведенной формулы для кх (для допустимых значений кх), если учесть, что Е = h2kl/2m.

При использовании функции Е(кх) = Tt2k^./2m для значений энергий Е при заданном К получим формулу

2 / 2

Е<0)(Яр) = при P = °>±1.±2,....

Хотя формулы для Е$п и Е^(Кр) выглядят непохожими, но они, как мы показали, описывают одно и то же множество значений энергии Е, являющихся энергиями решений стационарного уравнения Шредингера для модели Кронига-Пенни с периодическим условием Борна-Кармана при Vo = 0, при различных значениях константы распространения К.

2тг

HI*- I чёрточками):

кх = К + р при р = 0, ±1, ...;

эти значения кратны величине 2тг/1/ и их бесконечно много.

Энергетический спектр модели Кронита-Пенни при Vo = 0, т. е. при отсутствии связи электрона с ямами, при всех значениях константы распространения К можно представить с помощью значений рассмотренной выше параболической функции

Е(к ) — г,2

Е{кх) ~ 2т - mi2 Р ~Ер ’

берущихся в точках кх = (2тг/1/)р, где р = 0, ±1, ±2, ....

Крутизна параболы E(kx) = h2k^/2m в начале координат (при кх = 0) определяется значением массы т электрона, так как (с/2 E(kx)/dkx) = 1&ж=0 = h2/т.

Приведённая параболическая функция описывает спектр одномерной прямоугольной ямы шириной L с циклическим граничным условием

= ^(х 4- L).

Энергетический спектр электрона в модели Кронига-Пенни в пределе нулевой связи является спектром прямоугольной потенциальной ямы с бесконечными стенками и условием Борна-Кармана, ширина ямы L равна длине периода в условии Борна-Кармана.

Точки, кратные тг/А, мы обозначили маленькими жирными точками и большими вертикальными линиями. Одно значение константы распространения К, принадлежащее интервалу —тг/Л < К тг/Л (при некотором д), мы изобразили большой жирной точкой. Большими жирными точками изображены также значения проекции волнового вектора кх = К + + (2тг/Л)р при р = 0, ±1.....

Допустимые значения энергий Е^ (Кр) представлены на приводимом рисунке, на котором изображён график параболы Е(кх) = И2 к2/2т, жирными точками на этой параболе и на оси кх. Обозначены также значения кх и Е для некоторого значения константы распространения К. Цифрами около точек указаны значения целого числа р. Расстояния между соседними жирными точками равны 2тг/Л.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >