Исследование энергетического спектра в пределе бесконечно сильной связи

Изучим полученное трансцендентное уравнение модели Кронига-Пенни в пределе бесконечной сильной связи между потенциальными ямами (при Vb = +оо), т. е. в случае полностью непроницаемых потенциальных барьеров между ямами.

Конечно, здесь речь идёт о «связи» электрона с отдельной потенциальной ямой, т. е. о связи его с атомным остовом кристаллической решётки, а не о «связи» ям друг с другом.

Фиксируем определённое значение константы распространения К = = (2тг/?) д, где д = —N/2 + 1, ..., N/2 — 1. N/2 nN — чётное.

Так как мы считаем, что барьеры между ямами бесконечно высокие (так как Vo = +оо), то ямы теперь изолированы друг от друга, как показано на приводимом рисунке.

При V_o —> оо и фиксированном Е величина

7 = V2m(Vo - В)

стремится к бесконечности, и поэтому в правой части трансцендентного уравнения модели Кронига-Пенни можно рассмотреть только второе из двух слагаемых, так как коэффициент перед ним, в отличие от коэффициента перед первым слагаемым, при 7 ? +оо стремится к бесконечности. Другими словами, следует рассмотреть только ведущий член асимптотики правой части трансцендентного уравнения. Кроме того, можно считать, что

sh(7t)^ie^.

Таким образом, рассматриваемое трансцендентное уравнение модели Кронига-Пенни для значений энергий Е стационарных состояний при Э +оо примет следующий приближённый вид:

cos(/CA) = -д- е⁷* sin(fcs).

При 7 —> -Too коэффициент, стоящий перед sin(fcs) в приведённом уравнении, обращается в бесконечность, хотя левая часть этого уравнения остаётся конечной (по модулю она меньше или равна единице). Поэтому в пределе 7 —> +оо мы должны потребовать, чтобы выполнялось следующее тригонометрическое уравнение:

sin(A:s) = 0.

Следовательно,

ks = тгп,

где п — 1, 2, .... Брать нужно только положительные п, так как ks — положительное, брать п = 0 не нужно, так как тогда получим тривиальное решение с собственной функцией ф, тождественно равной нулю (которое следует отбросить).

Таким образом, получаем спектр энергий стационарных состояний:

_В(0)₌йЦ_п2 п=1,2,

2ms²

при V_o = +00. Верхний индекс «О» означает, что мы рассматриваем энергетический спектр нашей модели в пределе бесконечно сильной связи при V_o = +00.

Е_Кп Если бы мы рассмотрели не только ведущий,

но и следующий за этим ведущим членом член асимптотического разложения не при 7 = +оо, п= 2 а при 7 +оо, то смогли бы учесть в правой ча

сти трансцендентного уравнения также и первое, сейчас отброшенное слагаемое, так и следующий n = 1__за поправочным член асимптотического разложе-

__ I I I I I | | | | | __к ^{ния для ВТ0}Р^0Г0 слагаемого в правой части рас-_тг q тг сматриваемого трансцендентного уравнения. Это А А _Мы ещё сделаем позже.

Как видим, мы пришли к значениям энергий Е^ при п = 1,2,... энергетического спектра прямоугольной потенциальной ямы с бесконечными стенками ширины s с нулевыми граничными условиями.

Энергетический спектр электрона в модели Кронига-Пенни с периодическим условием Борна-Кармана в пределе бесконечной связи {при Vo = = +00) оказывается спектром электрона в отдельной потенциальной яме модели с нулевыми граничными условиями на концах, причём ширина этой ямы равна ширине ямы периодической структуры модели.

Но, в отличие от спектра одной потенциальной ямы, каждый уровень рассматриваемого сейчас спектра одномерной модели Кронига-Пенни при Vo = +эо вырожден с кратностью вырождения N, где N — число элементарных ячеек в модели.

может находиться в любой из имеющихся N ям, при этом он будет иметь одну и ту же энергию так что всего мы получим N вырожденных стационарных состояний электрона при Vo = +00.

В рассматриваемых стационарных состояниях электрон не размазывается по одномерному твёрдому телу, а жёстко привязан к своему атомному остову; т. е. мы получаем идеальный диэлектрик.