Нестационарные и неизотермические движения газа: Тепловые волны в газе

Исходная система уравнений нестационарного, неизотермического движения газа (7.45)-(7.47), которая описывает связанные физические поля течения — давления, температуры и расхода газа на линейном участке газопровода, имеет следующий вид:

а(—-—)

а _dQ

(7.59)

PairRa Ot ЭХ

Z(p,T)TQ

dQ ₍ A _}dp ₍PairRa. ^[ 1> ’ ₌

dt >_а1гА^;а_Ж ' A ’ Ox

₍ P _{ 9A /dh Z(p,T)pairR_aT г-,/._n

= --~---^{QAbs[Q1; (7}'⁶⁰⁾

(c₈T - CgDip) d(y) у

Z(p,T)(fl_{/A) dt Z(p,T)(R„/^)T^Cs dt}

tq² .

_D.dp_dp. Z^T^Ral^ (РакД)^{2 Э(}~2Г⁾ Z{p,T^R_a/^)Т^Сз dt dt ⁺ A² dt

faT - c_gDip)A² + l/2(Z(p,T)WA)²(p_airA)²(^)²)) _d0

^^Д>й⁺

A³

+ (_ЛгД)(^)(с,^-_С9О_!А₎₊ _

(7.61)

nf/TQ •.2

= (f) - ^/A)K_C(T - Щ + A_(K^).

Как видно из (7.59)-(7.61), уравнения движения газа представляют собой связанную систему дифференциальных уравнений в частных производных, которая является существенно нелинейной. Однако для практических (инженерных) приложений зачастую бывает достаточно иметь решения линеаризованных уравнений течения газа.

Поэтому в дальнейшем сначала составим возмущенные уравнения движения газа в газопроводе, а затем найдем и их решение как линеаризованной системы уравнений движения газа (7.59)-(7.61).

С этой целью выведем возмущенные линейные, дифференциальные уравнения термобарических полей потока газа в магистральном газопроводе, полагая, что выполняются следующие равенства:

р = Р_о + p(x,t), Q = qo + Q(x,t), Т = Т_о + T(x,t),

(7.62)

где р(х, t), Q(x, t), Т(х, t) — возмущенные значения Ро = Ро(х), Qo = Qo(#)> То = То (аг) — «постоянных» и невозмущенных величин давления, температуры и расхода газа в газопроводе, причем для возмущений справедливы р(х,Р) Q(x,t> . T(x,t) .

следующие неравенства: —-— С 1, —-— С 1, ——— 1.

Рэ чо 7о

Выполним линеаризацию уравнений (7.59)-(7.61) в окрестности установившихся значений переменных Ро, Qo> То, Для чего найдем некоторые разложения слагаемых в (7.59)-(7.61), используя следующие операторы:

Part[Series[

• (c_g(T₀ + Т[х, t]) - c_gDi (Рр + p[x, t])) Z (R_a/A)
• 9( (Po +p[^,t]) .

T₀ + T[_x,t]y

dt

, {р[ж, t], Po, 1}, {Т(ж, t), To, 1}]//

NormaV/Expand, {1, 3, 8}]

3DiAc₉Pop^^o,1a;, t) ЗЛ.с_дPqT^^0,1x, i)

ZR_a 4ZR_aTo 4ZR_aT()

Z{Ra/^){To ot

{р[ж, t], Po, 1}, {Т(ж, t), T_o, 1}]//Normal//Expand, 2]

ЗАсдР0Т(°’1)(я:^)

____4ZR_aTp_________________________________

Part[Series[

(Po + p[x,t])

Z(P_a/A)(T₀ + T(x,t))

d(p_o p[x,t])

^C°^D‘—di—

{p[«, t], Po, 1}, {T(x, t), To, 1}]//Normal//Expand, 2]

SDiAcyPoj/^0,1)^, i) 4ZP_aT₀

, (То + Т(ж. t))(Q[:r. t] 4- (jo)²

П Ис • _r^(^a/A) (PairA)² 2(Po+p[x,t])

Part[Senes[----------,

{p[®,t], P_o, 1}, {Q[x,t], qo, 1}, {T(a?,t), T_o, 1}]//Normal//Expand, 8]

________4Л²Р₀____________________________________________

Part[Series[[((c₉(T₀ + T(®,t)) — c_gDi (P_o + г»[ж,4]))^4.²+ 1/2(г²(Р_о/Д)²(р_а,_гД)²(^(Т° ⁺ ^’2⁾уУ^{+ )2))]/[A3] (Po + PpM])}

(р_а|гД)^Э(<Э[а^ ^{+ , {p[®, t], Po, 1}, {}