Стационарные неизотермические течения нефти и неф тепродуктов. Зависимость коэффициента кинематической вязкости от температуры

Далее перейдем к проектным расчетам, которые соответствуют уточненным методикам расчета транспортировки нефти по магистральным нефтепроводам. Так, в качестве уточнения проектного решения, рассчитанного по стандартной методике, в настоящем разделе примем, что вязкость нефти зависит от температуры.

Тогда в уточненной модели течения полагаем, что неизотермичность потока учитывается нелинейной зависимостью Л = А(Т) — гидравлических сопротивлений от температуры.

Если ограничиться случаем течения нефти (нефтепродуктов) как течением ньютоновской жидкости и принять для кинематической вязкости формулу Рейнольдса в виде

и = ДоЕхр[-а(Т(_Ж) - Т_о)], (1.103)

где через До обозначена кинематическая вязкость нефти (нефтепродукта) при температуре То, то сделанное выше предположение о зависимости вязкости нефти от температуры будет выполнено.

Л = A/R™-, R_e = = Д₀Ехр[-а(Т(_Ж) - Т_о)];

7Г UilS

grViscosity = Plot [Evaluate [Table [А/. {Di .529 — .020, a —> .45,

T_o -+ 273.16 + 20, m .25, Q_oii -> 21 + г.1,

До 5.4 10^-6, A .3764}, {г, 1,10, 2}]], {T(x), 273,300},

AxesLabel {“T° K”, “A”}]

grKinematic ViscosityOil = Plot [Evaluate [Table [v/.{Di —>.529 —.020, a .27,

T_o -+ 273.16 + 20,

m —> .25,

Qoii — .21 +г.1,

/3₀ 5.4 10^-6,

A -> .3764}, {г, 1,10, 2}]], {Т(ж), 280, 300},

AxesLabel {“T° K”, “p”(m²/sec)}]

grl = Plot[7?[T]/950, {T, 0, 50}]

grViscosityOil = Plot[Evaluate[Table[A/.{jD; —> .529 — .020,

а .27,

Т_о -+ 273.16 + 20,

т —> .25,

Qoii .21 +г.1,

/3₀ 5.4 10^-6,

А -> .3764}, {г, 1,10, 2}]], {Т(ж), 273, 300}, Frame True, GridLines Automatic, FrameLabel {“Т °К”, “А ”}]

Вязкость, Па с

rj[T_J = 0.205Ехр[—0.114Т] 0.205е"^О114Т

• ?7[4О.]
• 0.00214472

Абсолютная вязкость воздуха, метана (Па с) при 300 К:

Mair = 18.5 10-6

MMethan = 11.2 10

Кинематическая вязкость воздуха:

• 18.5 10-6/1.1
• 0.0000168182________________________________________________

Вязкость воды, керосина (Па с) при 20 °C:

Mwater = 1.01 10

Мол = 1.5 10~3

Кинематическая вязкость керосина:

• 1.5 10-3/800
• 1.875 х 10~⁶

Кинематическая вязкость нефти при температуре 15 °C и 54 °C:

!/_оИ = {23.2-г 7.1}10^-6

Приведем вид семейства графиков, которое показывает в явном виде зависимость кинематической вязкости нефти от температуры. Соответствующее семейство графиков, при изменении а — параметра модели Рейнольдса, имеет вид:

grRheology = Plot[Evaluate[Table[(/3oExp[—а(Т — То)])/-{Т_о 273.16 + 20, /3₀ -> .000126, а .45 + г.005}, {г, 0,10, 2}]], {Т, 273.16 + 5, 273.16 + 20},

AxesLabel {“Т (Ст)”}]

Численный расчет кинематической вязкости нефти представлен ниже.

v_L = (/3₀Ехр[—а(Т - То)])/.{Т_о 273.16 + 20,

/3₀ .000126 10“³,а АЪ,Т 273 + 10}

0.0000121889

Семейство графиков при /3 —> 0.0003 имеет вид:

grRheology = Plot[Evaluate[Table[/3oExp[—а(Т — Т_о)]/.

{То 273.16 + 20, fio .000126 10^-3, а .45 - г.009},

{г, 0,10, 2}]], {Г, 273.16 + 5, 273.16 + 20},

AxesLabel {“Т (Ст)”}]

Очевидно, что переменный параметр модели Рейнольдса являлся чувствительным параметром модели.

Напомним некоторые сведения о и — коэффициенте кинематической вязкости жидкостей.

Единицей измерения и — коэффициента кинематической вязкости в системе СИ является Стокс, при этом 1 Ст - 10^-4 м²/с. В частности, коэффициент кинематической вязкости воды равен 0.01 Ст = 10^-G м²/с = 1 санти Стокс (сСт). Кинематическая вязкость бензина составляет примерно 0.6 сСт; дизельного топлива — 44-9 сСт; маловязкой нефти — 104-15 сСт, более вязкой нефти — 15 4- 35 сСт, существует нефть с вязкостью 50 4-100 сСт. Как отмечалось ранее, вязкость нефти и почти всех нефтепродуктов зависит от температуры. При повышении температуры вязкость уменьшается, при понижении — увеличивается.

Далее, для коэффициента гидравлического сопротивления справедливо соотношение модели Л. С. Лейбензона, формула которой может быть записана в виде

Л = Л/Я_е^т, (1.104)

через Л в формуле (1.104) обозначен постоянный параметр модели, a тп принимает значения от 0 до 1 в зависимости того, какое течение реализуется в трубопроводе.

Напомним, что число Рейнольдса через объемный расход нефти записывается следующим образом:

R_e = (1.105)

Целью дальнейшего исследования является определение влияния реологических свойств нефти, а именно, вязкости продукта, на неизотермические течения нефти в нефтепроводе.

С учетом сделанных выше предположений о течении нефти (нефтепродуктов) найдем распределение давления и температуры на горизонтальном линейном участке нефтепровода при неизотермическом течении продукта. Сначала рассмотрим влияние зависимости вязкости нефти от температуры на стационарные распределения давления и температуры нефти на горизонтальном линейном участке нефтепровода. Зависимость вязкости нефти от температуры примем в виде закона Л. С. Лейбензона (1.104).

Соответствующие коды для нелинейной модели Л. С. Лейбензона представлены ниже.

Л = Л/Я_е^т;

4Qoii . 7vDiL/^,

и = /3₀Ехр[—а(Т(х) - Т_о)];

grKinematicViscosityOil = Plot [Evaluate [Table [г-/. {Z9 г —>.529 —.020, а .27, Т_о -> 273.16 + 20, т —> .25,

Qoii -> .21 + г.1,

/3₀ -> 9.4 10^-4,

А .3764}, {г, 1,10, 2}]], {Т(ж), 280, 300}, Frame True, GridLincs —> Automatic, FrameLabel —> {T °K,“i/”(m²/sec)}]

grViscosityOil = Plot[Evaluate[Table[A/.{Z)i —> .529 — .020, а -> .27, Т_о -> 273.16 + 20, тп .25,

Qoii -> .21 + 1.1,

/3₀ 9.4 10^-4,

Л .3764}, {г, 1,10, 2}]], {Т(ж), 273, 300}, Frame -> True, GridLines —> Automatic, FrameLabel —> {“T °K”, “A”}]

Как и ранее, выразим скорость течения нефти в нефтепроводе через Qoii (объемный расход нефти в трубе) следующим кодом:

solQ = Solve[Q_Oii == ^V, г;]//Flatten

Как известно [2], замкнутые символьные решения для нелинейных моделей неизотермических течений найти довольно сложно. В тоже время символьные решения для линеаризованной модели можно найти в замкнутом виде как явные формулы для распределения давлений и температур вдоль нефтепровода.

Поэтому сначала исследуем линейную модель неизотермического течения нефти по горизонтальному участку нефтепровода, когда вязкость нефти изменяется по закону Л. С. Лейбензона, но в первом приближении нелинейная модель аппроксимируется линейной.

Линейная модель неизотермического течения строится путем линеаризации Л — коэффициента гидравлических сопротивлений течению по температуре.

Соответствующий код для линеаризации коэффициента гидравлических сопротивлений Л, принимаемый в модели Л. С. Лейбензона, представлен ниже.

Series[A, {Т(ж), То, 1}]//Normal//Simplify

А(-т)^т(атТ$ - атТ(х) + 1)(-^Г^т

4______________________PoPj______

Массовый расход нефти постоянной плотности ро равен

М = poAv,

Соответственно, уточненная линеаризованная модель неизотермического течения нефти (нефтепродуктов) в кодах имеет вид:

др(х) (SeriesfA, {Т(х), То, 1}]//Normal//Simplify)v²

^eqQ =~аГ⁼⁼ ~^р°-----------ад-----------

с/Т(ж) dp(x)__7vK_cD_e(T(x) -Tgr)

eqT — c_o c_oDi -- :

dx dx M

Явный вид линейных уравнений неизотермического течения нефти, которые соответствуют уточненной модели течения, представлен ниже.

eqQ

Д2 ^{2гп 1}7г^шpov²(amTo — шпТ(х) + 1)( 5^ ) ^т PoUi

с_оТ'(х) - Dic_op'(x)

тгК_сР_е(Т(х) -Ap_ov

Соответствующие символьные решения для определения стационарного распределения давления и температуры в нефтепроводе находим следующим оператором:

solPressureTemperature = DSolve[{eqQ/.solQ, eqT/.solQ, р(0) == = Ро,Т(О) == Т_о}, Т(х)}, ®]//Flatten//SimpIify {?(*)

( D'^J 4AcoQoiiPo

I е ^г х

x (4™e ^D‘ ^{+ iAc}“^Q°‘^im ir⁶D^DfK^ x

x - 8^_xAQ^(maT₀ - _maT_s. + l)_Po)(Tl)™₊

J-^iPO J-^iPO

/4^2-m a / Qoil -™ г-М_м,Ц—) ^2_xDeD2_Kc + 1024A²Dim7r^2znA²ac²Q^(Die ^D* ⁺ 4Ac_oQ_0ilP0

3 2³-^2mDirnn^m-²xAaQ^(-rf^-)-^m_Po PO

x maPo — e ^Di +

о._т(|)^--.л_о0;_дро(^)--

+ e ^D' ⁺ ^^AcoQo"^p° )_p4 ₊ 32Лттг^т+2Л x

I _ADrDjKC

X ac₀D_eD^K_cQ^(8Die ^D- ⁺

x 7T^mxAQ_oti(maTo — таТ_ёг + l)po —

, „^_DeD?Ke

-4^m7r²nf(2Die ^{+ 4Ac}°^Qo"^p0 p_{() +}

3 2³-^2mDirnn^m-²xAaQ²_ml(-^-r^mp₀

J^iPO

- 32ADim7r^mAaCoQ^^)²,

ТИ

2³-²-Dim₇r—²x^aQ²_il(-^-) — p₀ l-'iPO

е 4Ac_oQ_MP0 ^™^_DeD[K_c(e

2³-²-Огт7Г — ²хДаС?₀²_п(₇^-Г">о

I'iPO

Qoil

A² x D,, D ² КTr²xD_eD² K_c

• - 32ADi7r^mAc_oQ'^e ^4Ac°Q°"p° _mar₍₎ + e ^iAc°^Q<^ -
• 2³-^2тОгт7г”¹-²хЛа^²₁(₇|^)-^тр₀
• 4 A.c_oQ₀ipq
• (4^mn⁴D_eDjK_c(^-)^m - 32ADimn^mAac„Q^)}
• (Part[soIPressureTemperature, 1,2])

Dim (^)² — хЛа^²_11Ро (75^-) -ⁿ ^гРО

• 7Г²X•P_eD^^_c
• 4 AcoQ₀iipo

Dim(-)²-^Tnx^aQ²po(-^r)^-rn _{2 2}

Tv²xD_eD²K_c

x (4^me ⁿ' ^{+ 4ACoQoilp0} x

x (4”k²D=Po(^-)”‘ - 87r”^Q²,(m_Q7-₀ - maT_e, + l)po)(^-)^m + UiPo UiPo

+ 1024A²Dim7r^2mA²ac²Q^(Die ^{+ 4ACoQoilP(>} _>

3 2³-=^тИт»'"-²хЛ«<г;_||(-^|-)-^тро ^гРО

x maVo — e

01т(‘7)²-^та;Ла(д²_|ро(7^7

tv²xD_g D² K_c

4y4c₀Q₀jipo 4

_ w

+32Armr^m+2Aac_oD_eD²K_cQi_lp²₀ х

х (8Die ^D< ^{+ iAc}"^Q~'^fl,> n^mxAQ^(maTo -

— maT_& + l)p₀ -

, _ADeD?Ke

• -4^m7r²Z>f(2Die ^{+ 4Ac}°^Qo"^Po p_{o +}
• 3 2³~^2mDim7v"^l~²xAaQ²_ii(~~~)~^Tn po

^iPO

А_РеР?к,

D³ 4Ac₀Q₀iipo -

• - e ^г д/о -
• -T_gj)(^)"J)}/(4^m₇r’D,D⁷/<_c(-^|-)’'‘-32ADi_m^''U_QC„Q⁴₁p²)²

Полученные решения пригодны для проектных решений транспорта застывающей нефти и нефтепродуктов по уточненной модели Л. С. Лейбен-зона.

Далее займемся численными решениями рассматриваемой модели течения и представим графики распределения давления и температуры для стационарных течений нефти (нефтепродуктов) в трубопроводе 529 х 10 мм.

Параметры принятой модели течения и параметры трубопровода представлены ниже.

grViscosityOil = Plot[Evaluate[Table[A/.{_Di —> .529 — .020, ot .27, T_o 273.16 + 20, m .25,

Q_oi, -? .21 + г.1,

/Зо -> 5.4 10 ⁶,

A .3764}, {г, 1,10, 2}]], {Т(ж), 273, 300}, Frame True, GridLines -? Automatic, FrameLabel {“T °K”, “A ”}]

parameters = {A —> TvD-i²/AJ.Di —> .529 — .020, Di .529 - .020,

Di 0.005 10^-4,

D_e .529,

m .25(*течение Блазиуса*),

Qoii — -21,

/3₀ 5.4 10^-6,

A .3764, po .890 10³, c_o -> 1575, a -> .27,

T_o 273.16 + 20,

T_gr 273.16 + 1.5,

Po 4.5 10⁶, K_c 2.5 };

Объемный расход нефти, текущей со средней скоростью 1.1 м/с, равен

Qoii T^VDi²/4!.{Di .529 - .020, V 1.1}

Qoil 0.22383

Графики зависимости кинематической вязкости нефти от температуры имеют вид:

Needs [“PlotLegends”]

График падения температуры нефти в нефтепроводе на первых 60 км трассы нефтепровода представлен ниже.

grTemperature = Plot[10^-6(Part[solPressureTemperature, 1, 2]/. parameters), {ж, 0,100 10³}, Frame —> True,

GridLines —> Automatic, Background —> GrayLevel[0.95], PlotStyle ^[1],

FrameLabel —> {“Расстояние по длине трубопровода (м)”, “Давление (МПа)”}, PlotLegend —> {“Давление”}, LegendPosition —> {.3, .2}, LegendBackground —> GrayLevel[.85], LegendSize —? .72, LegendPosition —> { — .31, —.41}, ShadowBackground —> GrayLevel[.7]]

По виду представленной кривой видно, что распределение температуры вдоль трассы нефтепровода значительно отличается от классического (по формуле В. Г. Шухова) распределения температур. Это связано со значительным падением температуры вдоль трассы трубопровода, что следует из представленного графика.

В то же время падение давления вдоль трассы нефтепровода отличается от линейного (по х — продольной координате нефтепровода) закона распределения, представленного в предыдущем параграфе.

grPressure = Plot[—273.16 + Part[solPressureTemperature, 2, 2]/. parameters, {x. 0,100 10³},

Frame —> True, GridLines —> Automatic,

Background —> GrayLevel[0.95],PlotStyle —> ^[2],

FrameLabel —> {“Расстояние по длине трубопровода (м)”, “Температура (°C)”}, PlotLegend —> {“Температура”}, LegendPosition {.3, .2}, LegendBackground —? GrayLevel[.85], LegendSize —> .72, LegendPosition —> { — .31, —.41}, ShadowBackground —> GrayLevel[.7]]

Из представленных графиков видно, что учет реальных реологических свойств нефти, в частности, учет зависимости вязкости нефти от температуры, приводит к изменению законов распределения как давления, так и температуры вдоль трассы нефтепровода и к существенному изменению длины линейного участка нефтепровода (менее 120 км, которое найдено для нормативных расчетов), на котором происходит существенное падение давления.

Совместные графики распределения давления и температуры вдоль трассы нефтепровода представлены ниже.

t[solPressureTemperature, 2, 2],

⁶(Part[solPressureTemperature, 1, 2])}/.parameters], 0,100 10³}, Frame —? True, GridLines —? Automatic,

grPressureTemperature = PIot[Evaluate[{ —273.16 + Pari 10“ {ж, Background —> GrayLevel[0.95],PlotStyle —> ^[3], FrameLabel —»• {“Расстояние по длине трубопровода (м)”, “Давление (МПа), Температура (°C)”}, PlotLegend —> {“Температура”, “Давление”}, LegendPosition —> {.3, .2}, LegendBackground —> GrayLevel[.85], LegendSize —> .72, LegendPosition —> { — .31, —.41}, ShadowBackground —> GrayLevel[.7]J

Из представленного графика видно, что учет реологических свойств нефти приводит к уточнению реальной длины линейного участка нефтепровода (длина порядка 100 км) между насосными станциями, которые расположены на горизонтальном участке трассы нефтепровода.

Таким образом, при проектировании линейных участков нефтепроводов необходимо учитывать реологические свойства перекачиваемого продукта, т. к. распределение давления и температуры вдоль трассы нефтепровода существенно (примерно на 20 %) изменяется и зависит от реологических свойств нефти и нефтепродуктов

Х.3.9.4. Стационарные неизотермические течения нефти

• [1] Thickness[0.008],RGBColor[0,0,1]}, {RGBColorfl, 0, 0]
• [2] Thickness[0.008], RGBColor[0,0,1]}, {RGBColorfO, 0,1]
• [3] Thickness[0.008],

  RGBColorfl, 0, 0]}, {Thickness[0.005], RGBColorfO, 0,1]