Компенсация роста цен для одного товара

Если цены на какие-то блага растут, необходимо повышать и доходы населения. Это может делаться путем повышения зарплаты или введения прямых компенсационных выплат определенным группам потребителей.

Рассмотрим случай одного блага, спрос на которое описывается функцией спроса D (/, р). Если цена увеличилась от начальной величины ро до нового значения р_х = ро + Ар, то для компенсации потерь населения требуется изменить и доход, сделав его равным 1 = /₀ + AI. При этом спрос на благо не должен измениться. Тогда

= + = (3.54)

di op

Отсюда можно найти требуемую величину изменения дохода:

ЭП/

Ы = ~^~Лр. (3.55)

/др

Так как для нормальных ценных товаров то при Др > О изменение дохода Д/ получается положительным, поэтому доходы потребителей необходимо увеличивать.

Если функция спроса имеет степенной вид как по доходу (3.49), так и по цене:

• (3.56)
• (3-57)
• (3.58)

то из (3.55) легко получается:

АГ ^{а 1} Л

А/ = —Д/2, Р Р

или с учетом (3.47), (3.50):

А/ _ « Ар _ ^E,,(^Dl р

1 ~ /3 р~ Е,{Ь) р '

Таким образом, требуемое для компенсации относительное увеличение дохода должно быть пропорционально относительному увеличению цены с коэффициентом пропорциональности, равным отношению эластичностей спроса по цене и доходу.

Компенсация роста цен для многотоварного потребительского набора

В общем случае рассматривают набор функций спроса вида (3.40):

D,i,j = 1,2,...,и. (3.59)

В общем случае изменение цены на некий товар (благо) с номером i влияет на спрос и на все остальные товары. При этом если товар i является нормальным, то

^<0,

др.

т. е. при увеличении цены на товар спрос на него уменьшается. Что касается перекрестного влияния цены на /-товар на спрос на /-товар, то оно может быть различным. Для взаимодополняющих товаров (например, бензина и моторного масла)

• 3D,.
• —-<о, Эд.

для взаимозамещающих товаров (чай - кофе, мясо - рыба, крупы -макароны и т. п.)

Если в наборе имеются пары взаимодополняющих товаров, то задача компенсации в общем случае не имеет решения. Если же все товары взаимозаменяемы, то определение уровня компенсации и влияние компенсированного изменения цен на отдельные товары на общую структуру спроса осуществляются на основе решения задачи оптимизации (3.38). Влияние изменений цен на отдельные товары на спрос (как на эти, так и на другие товары в наборе) описывается уравнением Слуцкого, вывод и истолкование которого выходят за рамки настоящего пособия.

Ограничимся случаем двух благ. Тогда анализ может быть произведен графически.

Графическое решение задачи оптимального выбора представлено на рис. 3.14 (см. также рис. 3.11). Оно соответствует кривой безразличия, касательной к которой является прямая бюджетного ограничения, и определяется точкой С, в которой соприкасаются эти линии.

Рис. 3.14. Графический анализ влияния компенсации цен на спрос

Заметим, что из уравнения бюджетной прямой (3.32)

7 = + р₂х₂

следует, что точки пересечения прямой и осей координат и Ох₂ (точки В и А) определяются значениями координат Xi = I /р и %2 ⁼ I /pi соответственно.

Пусть теперь цена 1-го товара увеличилась. Тогда координата *1 точки пересечения прямой бюджетного ограничения с осью Ох сместится ближе к началу координат, и эта линия пере местится в положение АВ В этом положении линия бюджетного ограничения уже не будет касаться заданной кривой безразличия, поэтому оптимальный выбор потребителя будет определяться другой кривой безразличия, проходящей ниже. Это иллюстрирует очевидный вывод о том, что при некомпенсированном росте цен полезность доступного потребителю набора уменьшается.

Для сохранения прежнего уровня полезности доход потребителя необходимо увеличить. На рис. 3.14 это соответствует параллельному сдвигу прямой бюджетного ограничения вверх. Новый оптимальный выбор при сохранении первоначальной полезности будет теперь соответствовать положению бюджетной прямой AiBi и определяться точкой касания этой прямой и заданной кривой безразличия, т. е. точкой С₍. Видно, что эта точка не совпадает с прежней точкой С. Ей соответствует меньшее, чем раньше, значение координаты Х] (спроса на 1 -й товар) и большее значение координаты х₂ (спроса на 2-й товар). Таким образом, на основе проведенного графического анализа можно сделать важный вывод:

Повышение цены на товар, даже при полной компенсации этого повышения (позволяющей сохранить прежний уровень полезности набора товаров), вызывает уменьшение спроса на этот товар и увеличивает спрос на замещающий товар (товары).

Найдем величину увеличения дохода, требуемого для компенсации. Запишем систему уравнений, определяющих решение задачи оптимального спроса (3.38). С учетом (3.39) для случая двух товаров имеем:

Эм _{; п} -—рЛ = о, дх_{ <^-р₂л=о, дх₂

• (3.60)
• 1 = ррс_}+р₂х₂.

Отсюда полные дифференциалы полезности и и дохода Г.

dii =---dx_xA--dx₂ = Л(р^х_х + p₂dx₂ (3.61)

dx_x dx₂

di = + p₂^xi) ⁼ P^^x + p₂dx₂ + x_xdp_x + x₂dp₂. (3.62)

Так как в рассматриваемой задаче полезность и не должна измениться, ее дифференциал равен нулю. С учетом того, что полезность денег Я не является нулевой величиной, получаем из (3.61):

p_xdx_x + p₂dx₂ = 0.

Тогда в выражении (3.62) получим:

di = x_xdp_x + x₂dp₂. (3.63)

Если меняется только цена на 1-й товар (<Тр₂ ⁼ 0), то величина компенсации: di = х -dp. Значит, при изменении цены 1-го товара на /р компенсирующая прибавка дохода должна быть равна:

А/ = х_хАр_х. (3.64)

Полученная формула носит приближенный характер, так как уравнение (3.63) справедливо только при бесконечно малых изменениях цен, а в реальности изменение цены на товар всегда является конечной величиной.

Пример 3.7. Допустим, что в предыдущей задаче (пример 3.6) цена на первый товар изменилась и стала равной трем единицам. Определить необходимую величину компенсационной прибавки к доходу потребителя и объемы спроса на товары, соответствующие оптимальному выбору потребителя в новых условиях.

Решение

Поскольку компенсация предполагает, что уровень полезности набора остается неизменным, функция полезности описывается той же формулой, что и в предыдущей задаче и имеет ранее найденное значение 2. Однако величина дохода потребителя теперь неизвестна. Обозначим ее Г. Теперь бюджетное ограничение запишется так:

Г = Зх_х + 2х₂.

Снова выделим из выражений функции полезности и бюджетного ограничения и приравняем эти два выражения. Получается квадратное уравнение:

Зх² -Гх_х +2U¹ =0

с решением

I'±4d I'±Jr^24u² х. =--------=----------------

^1,2 6 6

Оптимальный выбор соответствует случаю D = 0. Тогда

Г = л/24м².

Величина функции полезности не изменилась, по сравнению с предыдущей задачей, и по-прежнему равна 2. Тогда

Г = л/24-2² =7% =9,8.

Величина компенсационной прибавки будет равна А/ = = 9,8 - 8 = 1,8. Заметим, что формула (3.64) дает в таком случае величину прибавки в две единицы, поэтому эта формула действительно является приближенной. Спрос на первый товар, как и в предыдущей задаче, определяется единственным корнем квадратного уравнения:

• 9,8
• 6

= 1,63.

Спрос на второй товар

находим из выражения функции

полезности:

• 2²
• 1,63

= 2,45.

Видно, что спрос на первый товар уменьшился, а на второй - увеличился, что подтверждает вывод, полученный ранее на основе графического анализа.

Пример 3.8. Решение задачи об оптимальном спросе потребителя с помощью электронных таблиц EXCEL

Рассмотрим потребительский набор, который включает два товара и описывается неоклассической функцией полезности:

и = х“'х“².

Цены на товары равны соответственно pi и рг, а доход потребителя -1. Эти величины заданы.

Определить с помощью электронных таблиц EXCEL максимальный уровень полезности и значения спроса на блага, соответствующие оптимальному выбору потребителя.

Решение

В соответствии с общей постановкой задачи об оптимальном выборе потребителя необходимо решить условную задачу оптимизации:

и - х“' х"² —> max,

РЛ + р₂х₂ = I.

Для решения с помощью EXCEL составляем таблицу, показанную на рис. 3.15 (строки 1-10).

В ячейки, выделенные серой заливкой, заносятся значения параметров, заданных в условиях задачи: значения цен на блага, показатели степени для выражения функции полезности и величина дохода потребителя. В данном случае использованы значения параметров из примера 3.6.

В ячейках А10 и В10 вычисляются искомые параметры решения - величины спроса на блага 1 и 2. При составлении таблицы в них можно занести произвольные значения.

В ячейке С6 вычисляется искомое значение функции полезности, которая является целевой функцией поставленной задачи оптимизации. Для этого в ячейку заносится формула:

=А10ЛВ5*В10ЛС5.

Таким образом, искомые параметры решения задачи сосредоточены в ячейках А10, В10, С6. Эти ячейки выделены на рис. 3.15 жирными рамками, а значения в них даны крупным жирным шрифтом.

В ячейке D3 (она обведена тонкой рамкой) рассчитывается величина затрат потребителя на приобретение набора благ. Для этого использована функция:

= СУММПРОИЗВ(В1:С1;А10:ВЮ)

Знак в ячейке ЕЗ поставлен для наглядности. Он напоминает, что затраты потребителя не могут превышать его доход.

Рис. 3.15. Решение задач расчета спроса в EXCEL

После подготовки таблицы в меню Сервис выбирается команда Поиск решения. Появившееся диалоговое окно заполняется так, как показано на рис. 3.16.

Поиск решения

минимальному значению

Установить целевую ячейку:

Равной: о максимальному значению значению: О

Выполнить

Закрыть

Рис. 3.16. Параметры поиска решения для расчета оптимального спроса

Заметим, что при решении задачи с помощью EXCEL бюджетное ограничение может иметь как вид равенства (3.36), так и более общий вид неравенства (3.35). Решение получится одинаковым.

После заполнения элементов диалогового окна необходимо нажать клавишу Параметры, в появившемся окне диалога Параметры поиска решения установить флажок Неотрицательные значения, затем нажать ОК для возврата в окно диалога. Потом щелчком по клавише Выполнить дается команда компьютеру на поиск решения задачи. Результат поиска показан на рис. 3.15.

Пример 3.9. Решение задачи о компенсации повышения цен с помощью электронных таблиц EXCEL.

Допустим, что потребительский набор включает два блага и описывается неоклассической функцией полезности:

сн а₇ и = х,’х₂².

При ценах на блага соответственно р и р₂, и доходе потребителя /о определен максимальный уровень полезности и₀ и соответствующие ему значения спроса на блага. Эти величины заданы.

В случае, когда цена на благо 1 возросла и стала равнойр, определить с помощью электронных таблиц EXCEL новые уровни спроса х их':, соответствующие оптимальному выбору потребителя при условии сохранения прежнего значения функции полезности, а также необходимую для сохранения полезности величину компенсации дохода.

Решение

В данной задаче целевой функцией становится новая величина дохода потребителя. Для того чтобы на компенсацию роста цены не расходовались лишние средства, отыскивается минимально необходимое значение компенсированного дохода Г при условии сохранения прежнего значения функции полезности. Получаем условную задачу оптимизации следующего вида:

р'х' + р₂х'₂ = Г —» min,

(ХУ'^У² = Wo-

Результаты решения задачи с помощью электронных таблиц EXCEL при параметрах примера 3.7 показаны на рис. 3.15 (строки 13-22). Функции для расчета значений затрат потребителя и функции полезности имеют ту же структуру, что и в предыдущем примере:

- затраты (ячейка D15):

СУММПРОИЗВ(В15:С15;А22:В22);

- функция полезности (ячейка С18):

=А22ЛВ17*В22ЛС17.

Параметры заполнения диалогового окна Поиск решения для этого случая читателю предлагается разработать самостоятельно по аналогии с предыдущим примером. Обратите внимание на изменение параметров оформления ячеек в таблице, показывающих роль содержимого ячеек в решении задачи (исходные данные выделены серой заливкой, искомые значения спроса и целевой функции затрат (дохода потребителя) - крупным жирным шрифтом и жирными рамками, вспомогательная функция для создания ограничения - функция полезности - тонкой рамкой).

В качестве ограничивающего функцию полезности значения можно взять как непосредственно числовое значение решения предыдущего примера - 2, так и сослаться для этого на ячейку С6, содержащую это значение. Таким образом, ограничение при поиске решения может иметь вид:

С18 = 2 или С18 = С6.

Второй вариант удобен, если приходится одновременно решать как первичную задачу расчета оптимального спроса, так и задачу расчета компенсации роста цен относительно первоначального уровня.

Величина компенсационной прибавки к доходу рассчитывается в ячейке F15 по формуле:

= D15-D3.