Математическое моделирование потребительского поведения

3.4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО ПОВЕДЕНИЯ

Потребительские наборы и их сравнение

Теория потребительского поведения базируется на ряде идеализированных исходных предположений.

Первое из них заключается в том, что предполагается существование некоторого множества X потребительских наборов -наборов предметов потребления, продуктов или услуг (все эти понятия в теории потребления объединяют общим термином «блага»). Каждый набор охватывает все нужды потребителя в каком-то секторе жизнедеятельности, к примеру, это может быть набор продуктов питания. Под потребителем в общем случае понимается не обязательно отдельный человек - это может быть, например, семья или определенная категория людей. Набор состоит из п элементов х,-, каждый из которых выражает количество потребляемого блага /-вида, входящего в состав набора. Очевидно, каждый элемент набора должен быть неотрицателен: х, > 0.

Потребитель может выбрать любой из потребительских наборов, однако в его глазах они неравноценны. Второе исходное предположение заключается в том, что между различными наборами существуют бинарные отношения слабого предпочтения. Отношение слабого предпочтения между наборами х и у обозначается:

х => у (х равноценен или предпочтительнее у). (3.28)

Это значит, что при равных условиях потребитель может либо предпочесть набор х набору у, либо не увидит между ними разницы.

Если одновременно существуют отношения х => у и у =>- х, то говорят, что между наборами х и у имеет место отношение безразличия (равноценности). Такие два набора с точки зрения потребителя абсолютно одинаковы. Отношение безразличия обозначают х ~ у.

Если же х =>- у , а отношение у =>- х не имеет места, то говорят о сильном предпочтении х по отношению к .у: х >- у .

Отношение слабого предпочтения удовлетворяет ряду аксиом:

1. Оно является совершенным. Это значит, что для любых двух наборов х и у из множества X обязательно существует какое-то из трех соотношений:

х=>у У=>х х~у,

т. е. не существует таких наборов, которые нельзя было бы сравнить с другими.

• 2. Оно является транзитивным, т. е. из того, что х =>- у и у => z, следует, что x=>~z.
• 3. Оно является рефлексивным - для любого набора из множества X справедливо соотношение х =>- х .

Отсюда следует, что множество наборов X распадается на попарно непересекающиеся подмножества, внутри которых составляющие их наборы связаны отношением безразличия (при этом некоторые из подмножеств безразличия могут состоять всего из одного набора). Подмножество безразличия, состоящее из наборов, равноценных некоторому набору х, обозначается С_х.

Сравнительную ценность разных наборов в глазах потребителя можно описать функцией полезности (ФП) потребительских наборов. Это некая функция и(х), обладающая следующим свойством:

х >- у тогда и только тогда, когда и(х) > и(у). (3.29)

Легко видеть, что любое монотонное преобразование функции и(х), например, In и, е", an + b (где а, b - постоянные, причем а > 0), также дает функцию, обладающую свойством (2.29), т. е. новую функцию полезности. Поэтому функция полезности не служит количественной мерой какого-то свойства «полезности». Она только позволяет определить порядок сортировки наборов по критерию увеличения потребительских предпочтений, поэтому иногда называется функцией порядковой полезности.

Можно заметить, что каждому подмножеству безразличия С_х соответствует какое-то постоянное значение функции полезности.

В теории потребления предполагается, что функция полезности обладает свойствами:

• 1. > 0 - увеличение потребления какого-то блага в наборе при неизменном потреблении остальных благ должно увеличивать полезность набора.
• 2. lim-^- = оо - если какое-то благо вообще отсутствовало ^х^° дх_г.

в наборе, то появление даже малого его количества в наборе резко увеличивает полезность.

Э²м

3. —г<0 - с увеличением потребления блага в наборе Эх

скорость роста полезности уменьшается. В конце концов наступает насыщение, поэтому дальнейшее увеличение потребления данного блага уже не увеличивает полезность набора. Это приводит к следующему свойству функции полезности:

4. lim^ = 0.

^х^°° dx_t

Рассмотрим набор из двух благ, количества которых обозначим соответственно xj и Хг. Тогда функция полезности - это функция двух переменных м(Х1,Хг). Какое-либо подмножество безразличия в множестве различных наборов определяется условием м(х1,Х2) = щ = Const.

Если рассматривать Xi и Xi как координаты на плоскости, то указанное условие определяет на плоскости кривую, называемую кривой безразличия. Для разных значений «₀ кривые безразличия образуют семейство линий на плоскости - изоквант функции полезности.

Часто рассматривается неоклассическая функция полезности (функция Кобба-Дугласа):

и = х“х^ь₂, (а + Ь< (3.30)

Кривые безразличия неоклассической функции полезности представляют собой семейство гипербол (рис. 3.8).

Рис. 3.8. Неоклассические кривые безразличия

Можно видеть, что для сохранения неизменного уровня полезности, в случае уменьшения потребления одного из благ, необходимо увеличивать потребление второго блага. Такое свойство называется взаимозамещением благ. Примером взаимоза-мещающихся благ могут служить, например, чай и кофе, мясо и рыба (если не принимать во внимание какие-то дополнительные соображения, например, медицинские).

Следует отметить, что существуют и другие виды функции полезности, например:

1. Функция полезности с полным взаимозамещением благ: w(x₁₅x₂) = ах_х + hx₂ (a,b = Const).

Кривые безразличия такой функции полезности имеют вид наклонных прямых (рис. 3.9).

Рис. 3.9. Кривые безразличия функции полезности с полным взаимозамещением благ

2. Функция полезности с полным взаимодополнением благ. В этом случае повышение спроса на один товар или услугу автоматически ведет к повышению спроса на другое благо. Примером могут служить бензин и моторное масло. При взаимодополнении благ избыток одного из благ не имеет значения. Определенная полезность набора н₀ достигается только при определенном сочетании благ, определяемом значениями Xi* и х₂*.

У такой функции не существует кривых безразличия. Подмножеством безразличия при конкретном значении и₀ является единственная точка, лежащая на пересечении прямых, определяемых равенствами Х = Xi* и х₂ ⁼ *2* Все такие точки для разных значений w₀ располагаются на прямом луче, выходящем из начала координат под углом (р = arctg (Х]*/х₂*) к горизонтальной оси.