Принятие решения в условиях риска и неопределенности

Общие подходы к количественной оценке рисков

Страховой риск должен быть исчисляемым, поскольку в противном случае страховщик не сможет определить плату за него и не примет этот риск на свою ответственность. Поэтому оценка рисков - один из важнейших вопросов для страховщика. Собственно говоря, «статистический риск» и содержит в своем названии метод оценки - на основе статистики своего проявления.

Риск оценивается вероятностью р наступления убытка и, математическим ожиданием его величины М (и), дисперсией D(u) и коэффициентом вариации (отношение среднего квадратического убытка су (и) к его математическому ожиданию). Случайная величина убытка может принимать значения от О (убыток при данном проявлении риска не произошел) до Umax (например, при полной гибели имущества).

Наиболее полно риск характеризуется законом распределения случайной величины убытка, который устанавливает связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Для непрерывных случайных величин, а именно к таким величинам, как правило, относятся убытки и потери от рисков, закон распределения называют интегральной функцией распределения случайной величины

F(U) = P(u

где U - некоторое текущее значение убытка и.

Из интегрального закона распределения случайного убытка путем дифференцирования по переменной U можно получить его функцию плотности, которая позволяет легко рассчитать вероятность наступления того или иного значения убытка.

Для количественной оценки параметров закона распределения используют статистику убытков по виду риска и известные методы статистических расчетов1. Фактическое распределение случайных убытков получают путем ранжирования статистического материала. При необходимости и для удобства дальнейших исследований убытка эти распределения можно аппроксимировать известными законами распределения случайных величин.[1] Случайное распределение имущественных убытков удобно аппроксимировать следующими законами:

  • • нормальное распределение;
  • • логарифмически нормальное распределение;
  • • распределение Рэлея.

После статистических оценок и исследования риска страховой актуарий рассчитывает соответствующую этому риску цену - страховой тариф.

Однако не все чистые риски можно назвать статистическими. Встречаются риски редкие, но приводящие к разрушительным последствиям (землетрясения, цунами, ядерные катастрофы и т.п.). Такие риски называют катастрофическими.

Глава 4. Формализация задачи менеджмента в страховом бизнесе Статистика таких рисков, в силу их редкости, практически отсутствует, поэтому для количественной их оценки применяют методы аналогий, теории устойчивости систем и другие.

Метод аналогий используется преимущественно для оценки природных рисков. Изучая исторические упоминания о различных, редких природных катастрофах, случившихся в прошлом, можно достаточно точно оценить возможный ущерб от подобных явлений в наше время. Остается открытым вопрос оценки вероятности наступления подобной природной катастрофы. Здесь возможны, по крайней мере, три подхода.

Статистический, предполагающий, что те или иные катастрофические явления образуют единую статистическую совокупность, например, повторяющиеся примерно один раз в 100-120 лет катастрофические наводнения на больших реках. Недостаток - значительная величина дисперсии и, как следствие, низкая точность статистических оценок в связи с малыми объемами статистической выборки и неоднородностью самого статистического материала.

Математическое моделирование катастрофических явлений на глобальном уровне, например, землетрясений. Недостаток - отсутствие качественной теории явления, нехватка вычислительных мощностей, трудность сбора исходной информации для моделирования.

Раскрытие неопределенности, например, методами «игры с природой», при необходимости принятия решения, связанного с риском, количественные характеристики которого определить невозможно. Условно этот подход можно отнести к математическому моделированию. Недостаток - низкая точность в связи с заменой неизвестного закона случайного распределения произвольной оценкой случайной величины.

Для оценки вероятности наступления катастрофических аварий на больших, сложных технических системах используются известные методы теории устойчивости[2]. В системе

выделяются цепочки элементов, отказ (разрушение) которых приведет к разрушению всей системы и причинению, в результате такого разрушения, убыткам для окружающих. Например, разрушение плотины и затопление города в результате выхода из строя аварийного сброса и перелив воды через гребень плотины при резком увеличении уровня воды в водохранилище. Вероятности отказов отдельных элементов можно рассчитать, следовательно, можно рассчитать и вероятность аварии всей системы.

При проектировании сложных систем используют понятие нормативного риска. Для его оценки используют понятие индивидуального приемлемого риска. Индивидуальный риск -риск, которому подвергается жизнь отдельного человека при авариях и стихийных бедствиях. Пороговый критерий для индивидуального риска, при котором большинство людей субъективно ощущают себя в полной безопасности, составляет Рпор =10'6. Значительная часть людей ощущает беспокойство и тревогу при Рпор =10’5. В ряде случаев, для атомных электростанций, значение риска уменьшается до Рпор =10-8. Пороговое значение индивидуального риска служит психологическим индикатором для человека.

Убытки от аварии оцениваются с помощью моделирования аварийной ситуации. Сценарии и математические модели аварий разработаны для большинства потенциально опасных технических систем.

Для оценки «качества» или степени риска с точки зрения страхования используют коэффициент вариации. Такой подход, в частности, предложен К. Бурроу. Если портфель однороден, т.е. случайные величины убытков по единичным рискам распределены одинаково, то при увеличении объема договоров в п раз коэффициент вариации уменьшается в Vn раз. Поэтому достаточно рассмотреть ситуацию для одного договора страхования.

Пусть р вероятность наступления страхового случая с убытком и, величина которого распределена по известному закону. Это позволяет рассчитать условные математическое

Глава 4. Формализация задачи менеджмента в страховом бизнесе ожидание M(u | А) и дисперсию D(u | А) убытка, а затем на их основе полные характеристики М(и) и D(u)[3].

М(и) = М(иА)*р;

D(u) = D(u | А) * р + р(1-р) * [М(и | ДР/

Это позволяет оценить степень риска (коэффициент вариации убытка):

а(и) _ 7Р(»1Л) *Р + р(1-р)^М(и|А)2]

М(и) М(и|Л)*р

Введем условное математическое ожидание убытка под знак квадратного корня и после несложных преобразований получим выражение:

(“И)2

Проанализируем его. Если величина убытка при наступлении страхового случая известна и фиксирована, то D(u | А) = О и д (и) = д/(1 — р}1 р , откуда следует, что в случае принятия на страхование редких событий, имеющих малую вероятность р, высока степень риска для страховщика получить страховой случай с большой выплатой, особенно если при этом велика страховая сумма.

Таким образом и получен известный коэффициент профессора В.С. Коньшина, оценивающий финансовую надежность страхования:

где п - число застрахованных объектов;

Т - средний тариф по объектам страхования.

Чем меньше величина коэффициента К, тем надежнее страхование. Отсюда следуют два важных вывода:

  • 1. Чем больше однородных договоров страхования заключил страховщик, тем выше его финансовая надежность.
  • 2. Страховщик с большим объемом страхового портфеля может, при одинаковой финансовой надежности, устанавливать меньшие размеры страхового тарифа за счет меньших колебаний его суммарного убытка относительного математического ожидания (меньшей дисперсии) по сравнению со страховщиком, у которого страховой портфель меньше.

Оценка рисков в условиях неопределенности

Принятие решений является одним из важнейших аспектов различных областей жизни и трудовой деятельности людей. Качественные характеристики эффективного решения должны иметь своей основой строгий научно обоснованный подход, адекватные прогнозные модели, серьезный математический аппарат. В частности, для принятия риска на страхование страховщик должен, прежде всего, идентифицировать и оценить этот риск.

С помощью такого научного подхода при известном состоянии окружающей среды можно выбрать решение, оптимальное по принятым критериям. Очевидно, что такой метод будет работать и в случае известных изменений окружающей среды - достаточно лишь скорректировать параметры модели или, при необходимости, формальное представление целевой функции и ограничений. Однако, как доказывает практика принятия решений, окружающая нас действительность, особенно российская, шире не только любых математических моделей, но зачастую и наших представлений о ней.

Во многих задачах финансово-экономической сферы принятие решения осложняется наличием неопределенности, заключающейся в неполноте информации об условиях принятия решения и его возможных последствиях. Неопределенность такого рода порождается различными, объективными причинами: внезапные проявления редких катастрофических

Глава 4. Формализация задачи менеджмента в страховом бизнесе рисков природного и техногенного характера, произвольные изменения экономической и финансовой политики государства, реформы в системе налогообложения, скачки курса валюты, непрогнозируемый рост инфляции и т.п.

Неопределенность является неотъемлемой составляющей действительности. Неопределенность ситуации обусловлена тем, что она зависит от бесчисленного множества факторов, выявление и оценка которых является чрезвычайно трудной задачей. К таким факторам можно отнести, во-первых, изменение состояний внешней среды в результате социальных, политических, экономических и других процессов (при этом важно отметить, что скорость протекания этих процессов в современных условиях значительно возрастает, что приводит к повышению уровня неопределенности); во-вторых, наличие широкого крута субъектов, участвующих в разнообразных отношениях, решения которых базируются на субъективных оценках событий.

В условиях рыночной экономики вопросы принятия решений с учетом неопределенности, а следовательно, и порождаемых ею рисков, приобретают все большую актуальность для субъектов экономических отношений. Это связано с тем, что экономическую ответственность за принятые решения, как правило, несут субъекты экономических отношений, то есть менеджмент.

В связи с этим вопрос выявления, оценки и управления рисками представляет большой практический интерес для субъектов экономических отношений. Практическая актуальность данного вопроса породила необходимость дальнейшего теоретического исследования сущности риска и методов его исчисления.

Одной из главных проблем принятия решения в этих условиях является раскрытие неопределенности. В исследовании операций разработаны специальные математические методы, предназначенные для количественного обоснования решений в условиях неопределенности. Одним из наиболее часто применяемых методов обоснования выбора решения в условиях неопределенности является теория игр, основанная на моделировании конфликтных ситуаций.

В общем случае неопределенными могут быть как условия выполнения некоторой операции, так и действия других участников операции, например конкурентов или недобросовестных страхователей. Вместе с тем, часто неопределенность связана не с сознательным противодействием нашим намерениям, а просто с нашей недостаточной осведомленностью об объективных условиях окружающей среды, в которых предстоит принять и реализовать управленческое решение. В исследовании операций такую объективную среду принято называть «природой», а соответствующую ситуацию - «игрой с природой». Применительно к решаемой задаче в качестве «игрока» рассматривается андеррайтер, принимающий решение, а под «природой» - окружающая страховую компанию внешняя среда, насыщенная рисками. Игрок действует осознанно, стремясь принять наиболее выгодное для себя решение, при этом предполагается, что «природа» является незаинтересованной инстанцией, поведение которой хотя и неизвестно, но, во всяком случае, не содержит элементов сознательного противодействия планам «игрока». Решение игр с «природой» сводится к формализации стратегий участников игры, выбору оценочного критерия, составлению и анализу платежной матрицы.

Раздел теории игр, рассматривающий «игры с природой», непосредственно смыкается с теорией статистических решений и математической статистикой.

Весьма важно и то, что теория игр четко ставит вопрос о критериях оценки качества формулированного в пределах этой теории в виде «функции платы». Нужно сказать, что вопрос об определении или назначении платы в данной игре лежит вне теории игр, использующей плату как числовую меру успеха операции.

Платежная матрица представляет собой таблицу, в которой строками являются возможные стратегии игрока Ai, столбцами - возможные стратегии «природы» Ц, а значениями, лежащими на пересечении строк и столбцов, - результаты «игры» ау. Для выбора оптимальной стратегии (решения) игрока в условиях неопределенности действий «природы» приГлава 4. Формализация задачи менеджмента в страховом бизнесе меняются критерии, обеспечивающие некий гарантированный выигрыш (или минимальный проигрыш) независимо от действий «природы».

Наиболее общим является критерий пессимизма-оптимизма Гурвица:

Н = тахштпц. + (1-(/)тахд. >, ' ( i v 7 j )

где q - коэффициент, выбираемый между нулем и единицей на основании дополнительной информации о состоянии «природы» и характеризующий степень пессимизма.

Критерий Гурвица применяется, если в распоряжении игрока имеется не формализуемая информация, позволяющая сделать качественное предположение о состоянии (стратегиях) «природы» между пессимизмом и оптимизмом, но недостаточная для количественной оценке вероятности той или иной ее стратегии.

Если q = 1 (крайний пессимизм), то критерий Гурвица превращается в максиминный критерий Вальда, ориентирующий игрока на максимально возможный из минимальных выигрышей, т.е. на худшие условия. При этом игрок рассматривает «природу» как активного и злонамеренного противника.

Другим вариантом критерия крайнего пессимизма является минимаксный критерий Сэвиджа, ориентирующий игрока на минимально возможный из максимальных проигрышей Гц'.

S = min max г

i i

Если задана матрица выигрышей, то проигрыш можно определить как разницу между максимально возможным выигрышем и фактическим выигрышем по каждой стратегии игрока:

^=тах«,/-^

Если q = 0 (крайний оптимизм), то критерий Гурвица превращается в максимаксный критерий, ориентирующий игрока на максимально возможный из максимальных выигрышей, т.е. на наилучшие условия.

При выборе критерия оптимизации необходимо четко представлять состояние и тенденции изменения внешней «нормативной» среды. Искусство моделирования при использовании, казалось бы, простой игровой модели заключается в вычленении из массы противоречивой информации фактов, позволяющих сформулировать различные возможные состояния (стратегии) «природы», правильно выбрать оценочные критерии и, главное, понять характер отношений «природы» к объекту исследования.

Нельзя забывать и о том, что теория игр, как и всякая математическая модель сложного явления, имеет свои ограничения. Важнейшим из них является искусственное сведение выигрыша к одному единственному числу, не всегда адекватно представляющему все последствия выбранного решения. Сознавая эти ограничения, необходимо рассматривать игровые модели как один из способов упорядочения наших представлений о действительности и впоследствии подвергать полученные решения дополнительным проверкам.

  • [1] См., например, Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник / Н. Кремер. - М.: ЮНИТИ, 2003. - 543 с. 2 Абезгауз, Г.Г. и др. Справочник по вероятностным расчетам / Г. Абезгауз. -М.: Воениздат, 1966. - 408 с.
  • [2] См., например, Владимиров, В.А. и др. Управление риском. Риск. Устойчивое развитие. Синергетика / В. Владимиров. - М.: Наука, 2000. - 431 с.
  • [3] Корнилов, И. А. Основы страховой математики: Учебное пособие для вузов / И. Корнилов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. - 400 с.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >